性規(guī)劃求解技巧名師揭秘20xx年高考數(shù)學(xué)(文)命題熱點全覆蓋-資料下載頁
2025-08-04 00:17本頁面
【正文】 為∠MAF＝∠NAF，所以AM，AN關(guān)于直線AF對稱，所以直線AN的斜率為－k，易知A，所以直線AM的方程是y－＝k(x＋1)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立消去y，得(3＋4k2)x2＋(12＋8k)kx＋(4k2＋12k－3)＝0，所以x1＝，將上式中的k換成－k，得x2＝，所以kMN＝＝＝＝－，所以直線MN的方程是y＝－x＋d，代入橢圓方程＋＝1，得x2－dx＋d2－3＝0，所以Δ＝(－d)2－4(d2－3)0，解得－2d2，又因為MN在A點下方，所以－1＋d?d1，所以－2d1.4．已知函數(shù)f(x)＝(x－1)ex－ax2(e是自然對數(shù)的底數(shù))．(1)討論函數(shù)f(x)的極值點的個數(shù)，并說明理由；(2)若對任意的x0，f(x)＋ex≥x3＋x，求實數(shù)a的取值范圍．解 (1)f′(x)＝xex－2ax＝x(ex－2a)．當a≤0時，由f′(x)0得x0，由f′(x)0得x0，∴f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)有1個極值點；當0a時，由f′(x)0得xln 2a或x0，由f′(x)0得0xln 2a，∴f(x)在(－∞，ln 2a)上單調(diào)遞增，在(ln 2a,0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)有2個極值點；當a＝時，f′(x)≥0，∴f(x)在R上單調(diào)遞增，∴f(x)沒有極值點；當a時，由f′(x)0得x0或xln 2a，由f′(x)0得0xln 2a，∴f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，在(0，ln 2a)上單調(diào)遞減，在(ln 2a，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)有2個極值點．綜上，當a≤0時，f(x)有1個極值點；當a0且a≠時，f(x)有2個極值點；當a＝時，f(x)沒有極值點．(2)由f(x)＋ex≥x3＋x得xex－x3－ax2－x≥0.當x0時，ex－x2－ax－1≥0，即a≤對任意的x0恒成立．設(shè)g(x)＝，則g′(x)＝.設(shè)h(x)＝ex－x－1，則h′(x)＝ex－1.∵x0，∴h′(x)0，∴h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴h(x)h(0)＝0，即exx＋1，∴g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴g(x)≥g(1)＝e－2，∴a≤e－2，∴實數(shù)a的取值范圍是(－∞，e－2]．
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