因式分解公式大全-資料下載頁
2025-08-03 10:49本頁面
【正文】 項；這個解法是將3拆成1+1+1，最終都是將②式變形為兩個式子之積等于零的形式． 2．利用乘法公式求值 例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值． 解 因為x+y=m，所以 m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3mxy， 所以 求x2+6xy+y2的值． 分析 將x，y的值直接代入計算較繁，觀察發(fā)現(xiàn)，已知中x，y的值正好是一對共軛無理數(shù)，所以很容易計算出x+y與xy的值，由此得到以下解法． 解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy =(x+y)2+4xy 3．設(shè)參數(shù)法與換元法求值 如果代數(shù)式字母較多，式子較繁，為了使求值簡便，有時可增設(shè)一些參數(shù)(也叫輔助未知數(shù))，以便溝通數(shù)量關(guān)系，這叫作設(shè)參數(shù)法．有時也可把代數(shù)式中某一部分式子，用另外的一個字母來替換，這叫換元法． 分析 本題的已知條件是以連比形式出現(xiàn)，可引入?yún)?shù)k，用它表示連比的比值，以便把它們分割成幾個等式． x＝(ab)k，y＝(bc)k，z＝(ca)k． 所以 x+y+z=(ab)k＋(bc)k+(ca)k=0． u+v+w=1，① 由②有 把①兩邊平方得 u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1， 所以u2+v2+w2=1， 即 兩邊平方有 所以 4．利用非負數(shù)的性質(zhì)求值 若幾個非負數(shù)的和為零，則每個非負數(shù)都為零，這個性質(zhì)在代數(shù)式求值中經(jīng)常被使用． 例8 若x24x+|3xy|=4，求yx的值． 分析與解 x，y的值均未知，而題目卻只給了一個方程，似乎無法求值，但仔細挖掘題中的隱含條件可知，可以利用非負數(shù)的性質(zhì)求解． 因為x24x+|3xy|=4，所以 x24x＋4＋|3xy|=0， 即 (x2)2+|3xy|=0． 所以 yx=62=36． 例9 未知數(shù)x，y滿足 (x2＋y2)m22y(x+n)m+y2+n2=0， 其中m，n表示非零已知數(shù)，求x，y的值． 分析與解 兩個未知數(shù)，一個方程，對方程左邊的代數(shù)式進行恒等變形，經(jīng)過配方之后，看是否能化成非負數(shù)和為零的形式． 將已知等式變形為 m2x2+m2y22mxy2mny+y2+n2=0， (m2x22mxy+y2)+(m2y22mny+n2)=0，即 (mxy)2+(myn)2=0． 5．利用分式、根式的性質(zhì)求值 分式與根式的化簡求值問題，內(nèi)容相當(dāng)豐富，因此設(shè)有專門講座介紹，這里只分別舉一個例子略做說明． 例10 已知xyzt=1，求下面代數(shù)式的值： 分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用條件將某些項的形式變一變． 解 根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子、分母可以同時乘以一個不為零的式子，分式的值不變．利用已知條件，可將前三個分式的分母變?yōu)榕c第四個相同． 同理 分析 計算時應(yīng)注意觀察式子的特點，若先分母有理化，計算反而復(fù)雜．因為這樣一來，原式的對稱性就被破壞了．這里所言的對稱性是分利用這種對稱性，或稱之為整齊性，來簡化我們的計算． 同樣(但請注意算術(shù)根！) 將①，②代入原式有 練習(xí)六 2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值． 3．已知ab+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值． 5．設(shè)a+b+c=3m，求(ma)3+(mb)3+(mc)33(ma)(mb)(mc)的值． 8．已知13x26xy+y24x+1=0，求(x+y)13x10的值．
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