【正文】 BF⊥AC∵M(jìn)為BC中點(diǎn)∴MF =BC同理可證：ME =BC∵E、F分別為OD、OA中點(diǎn)∴EF =AD∵AD = CB∴ME = MF = EF∴△MEF為等邊三角形，則矩形較短邊是對(duì)角線長(zhǎng)的一半.例：已知，四邊形ABCD為矩形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠AOB = 120O.求證：AB =BD（證明略）.例：已知,如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E為CD中點(diǎn)，EF⊥AB于F求證：S梯形ABCD = EFAB證明：過(guò)E作MN∥AB，交AD的延長(zhǎng)線于M，交BC于N，則四邊形ABNM為平行四邊形∵EF⊥AB∴S□ABNM = ABEF∵AD∥BC∴∠M =∠MNC 又∵DE = CE ∠1 =∠2∴△CEN≌△DEM∴S△CEN = S△DEM∴S梯形ABCD = S五邊形ABNED＋S△CEN = S五邊形ABNED＋S△DEM，則菱形的周長(zhǎng)是較短對(duì)角線長(zhǎng)的4倍.例：已知，四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120O.求證:AB = BD （證明略）相似形和解直角三角形部分（基本圖形如下）時(shí)，常作平行線.例：已知，如圖，AD為△ABC的中線，F(xiàn)為AB上任一點(diǎn)，CF交AD于E求證：證明：過(guò)F作FN∥BC交AD于N∴ 又∵CD = BD∴（有時(shí)也可在中線上截取線段）構(gòu)造平行四邊形.例：AD為△ABC的中線，E為AD上一點(diǎn)，BE、CE的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于點(diǎn)M、N求證：MN∥BC 證明：延長(zhǎng)AD至F，使DF = DE，連結(jié)BF、CF，則四邊形BFCE為平行四邊形∴BF∥CN CF∥BM∴ ∴∴MN∥BC，涉及到以下情況時(shí)，常構(gòu)造直角三角形.⑴有特殊角時(shí)，如有30o、45o、60o、120o、135o角時(shí).⑵涉及有關(guān)銳角三角函數(shù)值時(shí).構(gòu)造直角三角形經(jīng)常通過(guò)作垂線來(lái)實(shí)現(xiàn).例：一輪船自西向東航行，在A處測(cè)得某島C在北偏東60o的方向上，船前進(jìn)8海里后到達(dá)B，再測(cè)C島在北偏東30的方向上，問(wèn)船再前進(jìn)多少海里與C島最近？最近距離是多少？解：由題可作圖，且∠CAB = 60o ，∠ABC = 120o ，AB = BC = 8（海里）在Rt△ABC中，BC = 8，∠CBD = 60o ，∴BD = BCcos60o = 8= 4（海里）CD = BCsin60o = 8= 4（海里）答：船再前進(jìn)4海里就與C最近，最近距離是4海里.規(guī)律80. 0o、30o、45o、60o、90o角的三角函數(shù)值表三角函數(shù)0o30o45o60o90o011001－－10另外：0o、30o、45o、60o、90o的正弦、余弦、正切值也可用下面的口訣來(lái)記憶：0o可記為北京電話區(qū)號(hào)不存在，即：010不存在，90o正好相反30o、45o、60o可記為：1，27，弦比2，切比3，分子根號(hào)別忘添.其中余切值可利用正切與余切互為倒數(shù)求得.規(guī)律81. 同角三角函數(shù)之間的關(guān)系：（1）.平方關(guān)系： （2）.倒數(shù)關(guān)系：（3）.商數(shù)關(guān)系： 規(guī)律82. 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.規(guī)律83. 任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值等于它的余角的正切值. .例：已知△ABC中,∠A = 60o,AB = 6,AC = 4,求△ABC的面積。解：作BD⊥AC于D在Rt△ABD中，BD = ABsinA∴S△ABC = ACBD=ACABsinA= 46sin60o = 12= 6.，60o角所對(duì)的直角邊是30o角所對(duì)的直角邊的倍.（即30o角所對(duì)的直角邊是幾，另一條直角邊就是幾倍.），如果較長(zhǎng)直角邊是較短直角邊的2倍，則斜邊是較短直角邊的倍.圓 部 分，常常需要作出圓心到弦的垂線段（即弦心距）這一輔助線，一是利用垂徑定理得到平分弦的條件，二是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題.例：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、：AC = BD證明:過(guò)O作OE⊥AB于E∵O為圓心，OE⊥AB∴AE = BE CE = DE∴AC = BD練習(xí)：如圖，AB為⊙O的弦，P是AB上的一點(diǎn)，AB = 10cm，PA = ⊙O的半徑..例：如圖，已知AB是⊙O的直徑，M、N分別是AO、BO的中點(diǎn)，CM⊥AB,DN⊥AB,求證： AC=BD證明：（一）連結(jié)OC、OD∵M(jìn)、N分別是AO、BO的中點(diǎn)∴OM = AO、ON = BO∵OA = OB∴OM = ON∵CM⊥OA、DN⊥OB、OC = OD∴Rt△COM≌Rt△DON∴∠COA = ∠DOB∴AC=BD（二）連結(jié)AC、OC、OD、BD∵M(jìn)、N分別是AO、BO的中點(diǎn)∴AC = OC BD = OD∵OC = OD∴AC = BD∴AC=BD例：如圖，已知M、N分別是⊙O 的弦AB、CD的中點(diǎn),AB = CD，求證：∠AMN = ∠CNM證明：連結(jié)OM、ON∵O為圓心，M、N分別是弦AB、CD的中點(diǎn)∴OM⊥AB ON⊥CD∵AB = CD∴OM = ON∴∠OMN = ∠ONM∵∠AMN = 90o－∠OMN ∠CNM = 90o－∠ONM∴∠AMN =∠CNM.例：如圖，已知⊙O1與⊙O2為等圓，P為OO2的中點(diǎn)，過(guò)P的直線分別交⊙O⊙O2于A、C、D、：AC = BD證明：過(guò)O1作O1M⊥AB于M,過(guò)O2作O2N⊥AB于N，則O1M∥O2N∴∵O1P = O2P∴O1M = O2N∴AC = BD（或證明是弧中點(diǎn)）時(shí)，常有以下幾種引輔助線的方法：⑴連結(jié)過(guò)弧中點(diǎn)的半徑⑵連結(jié)等弧所對(duì)的弦⑶連結(jié)等弧所對(duì)的圓心角例：如圖，已知D、E分別為半徑OA、OB的中點(diǎn)，C為弧AB的中點(diǎn)，求證：CD = CE證明：連結(jié)OC∵C為弧AB的中點(diǎn)∴∴∠AOC =∠BOC∵D、E分別為OA、OB的中點(diǎn)，且AO = BO∴OD = OE = AO = BO又∵OC = OC∴△ODC≌△OEC∴CD = CE..，再利用直徑所對(duì)的圓周角為直角證題.例：如圖，AB為⊙O的直徑，AC為弦，P為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AC = PC,PB的延長(zhǎng)線交⊙O于D，求證：AC = DC證明：連結(jié)AD∵AB為⊙O的直徑∴∠ADP = 90o ∵AC = PC∴AC = CD =AP練習(xí)：如圖，在Rt△ABC中，∠BCA = 90o ,以BC為直徑的⊙O交AB于E，D為AC中點(diǎn)，連結(jié)BD交⊙：.：⑴作等弧所對(duì)的弦⑵作等弧所對(duì)的圓心角⑶作等弧所對(duì)的圓周角練習(xí)：，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，交點(diǎn)為E，F(xiàn)為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)AF交⊙：∠AMD =∠FMC(提示：連結(jié)BM)，△ABC內(nèi)接于⊙O，D、E在BC邊上，且BD = CE，∠1 =∠2，求證：AB = AC（提示如圖），常構(gòu)造三角形中位線.例：已知，如圖，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求證：OE =AD證明：作直徑CF，連結(jié)DF、BF∵CF為⊙O的直徑∴CD⊥FD又∵CD⊥AB∴AB∥DF∴∴AD = BF∵OE⊥BC O為圓心 CO = FO∴CE = BE∴OE =BF∴OE =AD，常構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形.例：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，直線AD平分∠FAC，交⊙O于E，交BC的延長(zhǎng)線于D，求證：ABAC = ADAE證明：連結(jié)BE∵∠1 =∠3 ∠2 =∠1∴∠3 =∠2∵四邊形ACBE為圓內(nèi)接四邊形∴∠ACD =∠E∴△ABE∽△ADC∴∴ABAC = ADAE，常連結(jié)兩圓的公共弦例：如圖，⊙O1與⊙O2相交于A、B，過(guò)A的直線分別交⊙O⊙O2于C、D，過(guò)B的直線分別交⊙O⊙O2于E、：CE∥DF證明：連結(jié)AB∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形∴∠ABF =∠C 同理可證：∠ABE =∠D∵∠ABF ＋∠ABE = 180o∴∠C＋∠D = 180o∴CE∥DF，常有以下兩種引輔助線方法：⑴當(dāng)已知直線經(jīng)過(guò)圓上的一點(diǎn)，那么連結(jié)這點(diǎn)和圓心，得到輔助半徑，再證明所作半徑與這條直線垂直即可.⑵如果不知直線與圓是否有交點(diǎn)時(shí)，那么過(guò)圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長(zhǎng)度等于半徑的長(zhǎng)即可.例1：如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，以O(shè)P為直徑作圓交⊙O于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)PA、PB.求證：PA、PB為⊙O的切線證明：連結(jié)OA ∵PO為直徑∴∠PAO = 90o∴OA⊥PA∵OA為⊙O的半徑∴PA為⊙O的切線同理：PB也為⊙O的切線例2：如圖，同心圓O，大圓的弦AB = CD，且AB是小圓的切線，切點(diǎn)為E，求證：CD是小圓的切線證明：連結(jié)OE，過(guò)O作OF⊥CD于F∵OE為半徑，AB為小圓的切線∴OE⊥AB∵OF⊥CD, AB = CD∴OF = OE∴CD為小圓的切線練習(xí)：如圖，等腰△ABC，以腰AB為直徑作⊙O交底邊BC于P，PE⊥AC于E,求證：PE是⊙O的切線，常作過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用切線的性質(zhì)定理證題.例：如圖，在Rt△ABC中，∠C = 90o，AC = 12，BC = 9，D是AB上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O切AC于E，求AD長(zhǎng).解：連結(jié)OE，則OE⊥AC∵BC⊥AC∴OE∥BC∴在Rt△ABC中，AB = ∴∴OE = OB = ∴BD = 2OB = ∴AD = AB－DB = 15－= 答：AD的長(zhǎng)為.練習(xí)：如圖，⊙O的半徑OA⊥OB，點(diǎn)P在OB的延長(zhǎng)線上，連結(jié)AP交⊙O于D，過(guò)D作⊙O的切線CE交OP于C，求證：PC = CD 27