【正文】 ，滿足以下指標(biāo)：輸出量x和Φ的過渡過程時間小于2s。輸出量Φ的超調(diào)量小于20176。（）。 總體方案設(shè)計LQR最優(yōu)設(shè)計指設(shè)計出的狀態(tài)反饋控制器K要使二次型目標(biāo)函數(shù)J取最小值，而K由權(quán)矩陣Q和R唯一決定，通過對Q、R的選擇，來達到最優(yōu)控制的目的，圖62所示為控制框圖。圖62 控制框圖 基本理論知識設(shè)給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：X=AX+Buy=CX+Du二次型性能指標(biāo)函數(shù)：J=120∞xTQx+uTRudt其中：加權(quán)陣Q和R是用來平衡狀態(tài)向量和輸入向量的權(quán)重，Q是半正定實對稱常數(shù)矩陣，R是正定實對稱常數(shù)矩陣。根據(jù)極值原理，可以得出最優(yōu)控制律，即：u*=R1BTPx=Kx式中，K為最優(yōu)反饋增益矩陣；P為常值正定矩陣，必須滿足黎卡提（Riccati）代數(shù)方程，即：PA+ATP+PB1RBP+Q=0則最優(yōu)反饋增益K為：K=Q1BTP Q、R的選擇原則由原理可知，要求出最優(yōu)控制作用u，除了求解ARE方程外，加權(quán)矩陣的選擇也是至關(guān)重要的。而Q、R選擇無一般規(guī)律可循，一般取決于設(shè)計者的經(jīng)驗，常用的所謂試行錯誤法，即選擇不同的Q、R代入計算比較結(jié)果而確定。有以下幾種原則：（1）Q、R都應(yīng)是對稱矩陣，Q為正半定矩陣，R為正定矩陣。（2）通常選用Q和R為對角線矩陣，實際應(yīng)用中，通常將R值固定，然后改變Q的數(shù)值，最優(yōu)控制的確定通常在經(jīng)過仿真或?qū)嶋H比較后得到。當(dāng)控制輸入只有一個時，R成為一個標(biāo)量數(shù)（一般可直接選R=1）。（3）Q的選擇不唯一。這表明當(dāng)?shù)玫降目刂破飨嗤瑫r，可以有多種Q值的選擇，其中總有一個對角線形式的Q。 LQR最優(yōu)控制器系統(tǒng)設(shè)計的Matlab實現(xiàn)方法Matlab控制系統(tǒng)工具箱提供了完整的解決線性二次型最優(yōu)控制問題的命令和算法，其中函數(shù)lqr( )可以直接求解二次型調(diào)節(jié)器問題，命令格式如下：[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)，其中K為最優(yōu)反饋增益矩陣，P為Riccati方程的唯一正定解，E為ABK的特征值。 詳細(xì)設(shè)計已知倒立擺模型為xxΦΦ=010I+ml2bIM+m+Mml200m2gl2IM+m+Mml20000mlbIM+m+Mml201mglM+mIM+m+Mml20xxΦΦ+0I+ml2IM+m+Mml20mlIM+m+Mml2uy=10000010xxΦΦ+00u其中小車的質(zhì)量為M=，倒立單擺的質(zhì)量為m=，小車的摩擦系數(shù)為b=，端點與倒立單擺質(zhì)心的距離為l=，倒立單擺的慣量I=*m2，輸入量u=F是施加在小車上的外力，四個狀態(tài)變量分別是小車的坐標(biāo)x，x的一階導(dǎo)數(shù)，倒立單擺的垂直角度Φ，Φ的一階導(dǎo)數(shù)。輸出的被控量分別是小車的坐標(biāo)x和倒立單擺的垂直角度Φ。由以上數(shù)據(jù)可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：xxΦΦ=+y=xΦ=10000010xxΦΦ+00u（1）分析原系統(tǒng)的開環(huán)階躍響應(yīng)。首先求開環(huán)系統(tǒng)的特征值，判斷其穩(wěn)定性。然后根據(jù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線分析當(dāng)前的運動情況與期望性能指標(biāo)之間的差距，確定校正手段，編程如下： %系統(tǒng)狀態(tài)方程A=[0 1 0 0。0 0。0 0 0 1。0 0]。B=[0。 。0。 ]。C=[1 0 0 0。0 0 1 0]。D=[0]。%求解系統(tǒng)的特征值p=eig(A)t=0::1。%階躍響應(yīng)step(A,B,C,D,1,t)系統(tǒng)的特征值p = 0系統(tǒng)有一個位于右半平面的極點，故不穩(wěn)定。系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如圖63所示，上圖是小車坐標(biāo)x的階躍響應(yīng)曲線，下圖是倒立擺的垂直角度Φ的階躍響應(yīng)曲線，所以必須加入校正裝置。圖63 開環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線（2）線性二次型最優(yōu)控制器的設(shè)計設(shè)計線性二次型最優(yōu)控制器的設(shè)計的關(guān)鍵是選擇加權(quán)矩陣Q。一般來說，Q選擇的越大，系統(tǒng)達到穩(wěn)定所需要的時間越短。首先選擇Q=C‘*C，R=1，然后根據(jù)實際情況調(diào)節(jié)。編程如下：%Q和R矩陣的選擇m=1。n=1Q=[m 0 0 0。0 0 0 0。0 0 n 0。0 0 0 0]。R=[1]。%求解線性二次型最優(yōu)狀態(tài)[k,p,e]=lqr(A,B,Q,R)%求解系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程Ac=[(AB*k)]。Bc=B。Cc=C。Dc=D。%輸出系統(tǒng)階躍響應(yīng)T=0::10。U=ones(size(T))。[Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T)。y1=Y(:,1)。y2=Y(:,2)。plot(T,y1,39。r:39。,T,y2)。title(39。Inverted Pendulum LQ Step Response39。)。xlabel(39。時間（sec）39。)。ylabel(39。響應(yīng)39。)。grid。legend(39。小車位移39。,39。擺桿傾角39。)結(jié)果為：k = p = e = + + 此時求得的線性二次型最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為：K=其響應(yīng)曲線如圖64所示：圖64 m=n=1時階躍響應(yīng)曲線從圖64可以看出，超調(diào)量基本滿足要求，但穩(wěn)定值與系統(tǒng)期望值相差太大（小車坐標(biāo)的響應(yīng)曲線穩(wěn)態(tài)值為負(fù)值）；另一方面過渡時間和上升時間都很大，必須重新校正。校正方法就是加大加權(quán)矩陣Q的值。取m，n分別為以下值進行仿真m105011020050011010004000……n1060110210510500110110……圖65 m=10。n=10 圖66 m=50。n=60圖67 m=110。n=110 圖68 m=200。n=210圖69 m=500。n=510 圖610 m=500。n=110圖611 m=110。n=500 圖612 m=1000。n=110圖613 m=4000。n=110 圖614 m=4500。n=110通過多次修改數(shù)據(jù)后仿真，當(dāng)m=4500，y=110時效果比較理想。此時狀態(tài)反饋矩陣k =（ ）。階躍響應(yīng)如圖615所示圖615 m=4500、n=110時階躍響應(yīng)曲線分析當(dāng)m=4500，n=110時，系統(tǒng)的上升時間，調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量，編程如下：%Q和R矩陣的選擇m=4500。n=110。Q=[m 0 0 0。0 0 0 0。0 0 n 0。0 0 0 0]。R=[1]。%求解線性二次型最優(yōu)狀態(tài)[k,p,e]=lqr(A,B,Q,R)%求解系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)方程Ac=[(AB*k)]。Bc=B。Cc=C。Dc=D。%輸出系統(tǒng)階躍響應(yīng)step(Ac,Bc,Cc,Dc)得到以下結(jié)果：，%；*10^16s。階躍響應(yīng)曲線如圖616所示：圖616 階躍響應(yīng)曲線從圖616可知，系統(tǒng)響應(yīng)的快速性得到了明顯改善，上升時間和調(diào)節(jié)時間以及超調(diào)量都滿足最初設(shè)計要求。綜上所述，基于最小值原理的線性二次型最優(yōu)控制，通過求解代數(shù)Riccati方程，得到的狀態(tài)反饋矩陣K，可以使系統(tǒng)的各種狀態(tài)獲得漸進穩(wěn)定特性。它的不足之處在于，加權(quán)矩陣Q、R的值與系統(tǒng)響應(yīng)性能之間的關(guān)系是定性的，往往不能一次得到滿意的結(jié)果，需要多次調(diào)整它們的值得到滿意的系統(tǒng)響應(yīng)性能。 調(diào)試Simulink仿真用Simulink進行仿真，框圖如圖617所示。圖617 仿真框圖運行結(jié)果如圖618所示，其中紫色線代表擺桿傾角，黃色線代表小車位移。圖618 示波器運行結(jié)果 設(shè)計總結(jié)這道題目幫助我們了解并掌握了LQR設(shè)計方法。對LQR設(shè)計中的加權(quán)矩陣Q和R的選擇的過程，是一個嘗試的過程。通過大膽合理的多次嘗試，我們不斷改變矩陣中的元素值，最終得到了合理的矩陣，在滿足系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求的同時，也明了了系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)與兩個加權(quán)矩陣之間的關(guān)系。當(dāng)Q不變而R減小時，倒立擺系統(tǒng)的調(diào)整時間與超調(diào)量減小，上升時間與穩(wěn)態(tài)誤差增大；當(dāng)R不變而Q變大時，調(diào)整時間與超調(diào)量減小，擺桿的角度變化也同時減小，但上升時間與穩(wěn)態(tài)誤差卻同時增大。當(dāng)然，當(dāng)Q和R的變化與上述兩種情況相反時，結(jié)論恰好相反。實驗結(jié)果表明了該規(guī)律的有效性與實用性，同時也顯示出了LQR控制器較好的魯棒性與動態(tài)性能。在實際的控制系統(tǒng)設(shè)計中，Q和R的選擇應(yīng)該很據(jù)上述規(guī)律進行選擇，但是也要注意與實際情況相結(jié)合，這樣得到的矩陣才是合理科學(xué)的。參考文獻[1] —分析、設(shè)計與實現(xiàn)[M].西安交通大學(xué)出版社，2008.[2] [M].北京航空航天大學(xué)出版社，2009.[3] [M].機械工業(yè)出版社，2009.[4] [M].機械工業(yè)出版社，2006.58