【正文】 013= 1+i + i 221 3 1+ 3= i22 圖 619 例 6圖 形O xy11?Z?Z解1 2 3 .2 如 圖 620 所 示 , 已 知 平 面 內 并 列 的 三 個 相 等 的 正 方 形 ,利 用 復 數(shù) 證 明 , ?? ? ? ? ? ? 例 7? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?123., 證 如 圖 建 立 坐 標 系( 確 定 復 平 面 ), 由 于 平 行線 的 內 錯 角 相 等 , 1, 2,3 分 別 為 復 數(shù) 1+i,2+i,3+i 的 輻 角 , 這 樣 ,就 是 積 1+ i 2+ i 3+ i的 輻 角 1+ i 2+ i 3+ i =1 0i .其 輻 角 的 主 值 是 又 1, 2, 3 都 是 銳 角 , 這 樣 :2????? ? ? ??? ? ?明, 1 2 3 .2??? ? ? ? ? ?30 ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3 所 以26 2 0?圖 例 7圖 形O xy1 2 311 2 3? ? ? ?1 1 1 1 2 2 2 22c o s s in , c o s s in( 0 ) ,Z r Z rZ? ? ? ?? ? ? ?? 設 復 數(shù) ii則 2 .. 除 法? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?1 1 1 1 1 1 2 212 2 2 2 2 2 2 2 2c os si n c os si n c os si nc os si n c os si n c os si ni +i i==i +i irrZZ r r? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?1 1 2 1 2 1 2 1 22c o s c o s s i n s i n s i n c o s c o s s i n=irr ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ?1 1 2 1 22c o s s in .irr ? ? ? ???? ? ? ???,4 4 5 54 c o s sin 2 c o s sin3 3 6 64 5 4 52 c o s sin 2 c o s sin3 6 3 6 2 2例 如 + i i i i 2 i .? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? 這就是說，兩個復數(shù)相除，商還是一個復數(shù)，它的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差（復數(shù)除法的幾何意義是什么？） ? ? .sin 1 2 0i 計 算2 c o s 1 2 0 i?例 8? ?? ?c o s 2 7 0 s in 2 7 0 , 2 c o s 1 2 0 s in 1 2 02 c o s 2 4 0 s in 2 4 0 ,???? i = i i i? ?sin 27 02 c os 24 0 sin 24 0co s2 70 i所 以 原 式 =i??? ? ? ?? ?1c o s 2 7 0 2 4 0 sin 2 7 0 2 4 021c o s 3 0 sin 3 02i31i + i .44??? ? ? ???? ? ? 利用復數(shù)除法和乘法法則可以證明棣莫佛定理對于負整數(shù)指數(shù)冪也能成立 . 解? ?? ? ? ?1 1c os si nc os 0 si n 0c os si nc os si ncos +isinii ii????????????? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?1c o s sin這 樣 c o s + i s i n c o s + i s i n innn? ? ? ????????????? ? ? ?? ? ? ?c o s s i nnn??? ? ?=i上式說明對于所有整數(shù)指數(shù)的冪，棣莫佛定理恒成立 . 9s in . 計 算 c o s + i 33?????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???例 9? ? ? ?c os sinc os 3 sin 3 1.????? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?原 式 = 9 i 9 33 i .2Z 已 知 復 數(shù) 的 模 是 1, 且 實 部 不 是 零 , 求 證 : 是 一 個 實 數(shù)1+ZZ例 10? ?1 , : c o s s i n c o s 0Z ? ? ?? ? ?Z 所 以 的 三 角 形 式 可 設 為 i? ? ? ?11 c o s s i n c o s s i niiZZ ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?21 1 111 c o s s in c o s s in 2 c o s i + + iZZ ZZ? ? ? ? ?? ? ?? ?2 .1所 以 證 明 是 一 個 實 數(shù)ZZ?解證明 ? ? ? ?c o s sin c o s sin+開 設 是 復 數(shù) 的 次方 根 ( N ) , 那 么 :i r i nn? ? ? ? ????3 . 方? ? ? ? ? ? ? ?c o s s i n c o s s i n c o s s i ni i in nr n n? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 因 為 相 等 復 數(shù) , 它 們 的 模 相 等 , 輻 角 可 以 相 差 2 的 整 數(shù) 倍 ,所 以 :?2 ( )n rn k k Z?? ? ????? ? ??2,.由 此 可 知 n krn???? ???? ?c o s s i n :因 此 i 的 次 方 根 是rn???22c o s s inin kkrnn? ? ? ????? ?????當 取 0 , 1 , 2 , , 1 各 值 時 , 就 可 得 上 式 的 個 值 , 由 于 正 弦 ,余 弦 函 數(shù) 的 周 期 都 是 2。k n n?當 取 大 于 或 等 于 的 整 數(shù) 值 時 , 又 會 重 復 出 現(xiàn) 取 0 , 1 , 2 , , 1時 的 結 果 , 所 以 :k n k n? ? 22c os si n c os si n()ii 0,1,2, , 1nn kkrrnnkn? ? ? ??? ????? ? ??????,.這 就 是 說 復 數(shù) 的 次 方 根 有 個 值nn求 1i 的 立 方 根 .例 1 1 77c o s s i n , 144???? ??????1 i = 2 i 所 以 i 的 立 方 根 為 :66772244c os sin337 8 7 8c os sin ( 0 , 1 , 2)12 122i2ikkkkk????? ? ? ????????????????? ? ?????6667 7 5 5c os sin , c os sin ,12 12 4 423 23c os sin .12 12即 1i 的 立 方 根 是 下 面 三 個 復 數(shù) :2 i 2 i2i? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ????????解,.+ 設 R 求 的 平 方 根aa??例 12? ? ,a = a a??? ? c o s + i s i n 所 以 的 平 方 根 是33c os si n , c os si n ,2 2 2 2aa a a a? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?即 的 平 方 根 是 下 面 兩 上 復 數(shù) : i i 或 ii解? ?22c o s s i n ,kka k =? ? ? ????? ????? i 0 , 12 2 1 0 0 . 在 復 數(shù) 集 C 中 解 方 程 : ZZ ? ? ?例 132 4 4 4 0 3 6 0 , , :b a c? ? ? ? ? ?因 為 應 用 上 例 結 論 有2 36 2 6 1322ii iZ ? ? ? ? ?? ? ? ? ?2 2 1 0 因 此 , 我 們 可 以 在 復 數(shù) 集 內 將 分 解 成 兩 個一 次 因 式 乘 積 .ZZ ??? ? ? ? ? ? ? ?2 2 1 0 = 1 + 3 i 1 3 i = + 1 3 i + 1 + 3 iZ Z Z Z Z Z? ? ? ??? ? ? ? ?解CZ 5 在 復 數(shù) 集 中 解 方 程 = 3 2 .例 14? ?3 2 c o s 0 s i n 0 .??5原 方 程 就 是 : Z i5 0 2 0 232 c os si n55222 c os si n ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4) .55 所 以 iikkZ=kkk??????????????????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ?12345222 c os 0 sin 0 2 , 2 c os sin ,554 4 6 62 c os sin , 2 c os sin ,5 5 5 5882 c os sin .55即 i iiii Z ZZZZ??? ? ? ?????? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????????解 這 個 方 程 的 根 的 幾 何 意 義 是 復 平 面 內 的 五 個 點 , 它 們均 勻 分 布 在 以 原 點 為 圓 心 , 以 2 為 半 徑 的 圓 上 ( 圖 621).(),.n 一 般 地 , 方 程 Z 的 根 的 幾 何 意 義 是 復 平 面 上個 點 它 們 均 勻 分 布 在 以 原 點 為 圓 心 , 以 為 半 徑 的 圓 上nb b Cnb??圖 621 例 14 圖 形O xy25?25?25?25?25?習 題 思考題： 課堂練習題： 什么是復數(shù)的三角形式？三角形式的乘、除、乘方法則 . . ( 1 ) 3 c o s sin 2 c o s sin ? 。6 6 6 6ii? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? 4s i n( 2 ) 2 15c o s 1 5 ? 。i?? ??? ? ( 3 ) 8 c o s s i n 4 c o s s i n ? .3 3 6 6ii? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 . : 2 c o s s i n ? .66 i????? ? ?????化 為 三 角 形 式答 案 答 案 答 案 *第六節(jié) 復數(shù)的指數(shù)形式及在電工學中的應用 一、復數(shù)的指數(shù)形式 前面我們學習了復數(shù)的代數(shù)形式和三角形式，在科學技術中，特別在電學中還需要用到復數(shù)的指數(shù)形式 . c o s i s i n ????? i根 據(jù) 歐 拉 公 式 :e? ?? ?c o s s in :c o s s inZ = r iZ = r i r ???????? i可 知 , 對 于 任 一 個 復 數(shù) 都 可 以 寫 成 e,i我 們 稱 e 為 復 數(shù) 的 指 數(shù) 形 式 為 復 數(shù) 的 模 指 數(shù) 中 的 i 是虛 數(shù) 單 位 , 是 復 數(shù) 的 輻 角 , 其 單 位 只 能 是 弧 度 , 其 中 e=2 8 ( ! 復 數(shù) 的 指 數(shù) 形 式 中 的 不 一 定 是 輻 角 主 值 .)rr???c os si n 3 , 2222 c os si n .44i i24例 如 3 i e e i????????????????? ? ? ??