高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六講函數(shù)的單調(diào)性奇偶性和周期性-資料下載頁(yè)
2025-08-01 17:17本頁(yè)面
【正文】 0)f(x)f(x)=2022, f(x)+2022=[f(x)f(0)]=[f(x)+2022], 因此函數(shù) f(x)+2022是奇函數(shù) ,選 D. 4.(基礎(chǔ)題 ,易 )設(shè) f(x)是定義在 R上以 2為周期的偶函數(shù) ,已知x∈(0,1) 時(shí) , 則函數(shù) f(x)在 (1,2)上 ( ) A. 是增函數(shù) ,且 f(x)0 B. 是增函數(shù) ,且 f(x)0 C. 是減函數(shù) ,且 f(x)0 D. 是減函數(shù) ,且 f(x)0 答案 :D ? ? ? ?12l o g 1 ,f x x??解析 :由題意得當(dāng) x∈(1,2) 時(shí) ,02x1,0x11,f(x)=f(x)=f(2x)=log12= [1(2x)]= (x1)0,則可知當(dāng)x∈(1,2) 時(shí) ,f(x)是減函數(shù) ,選 D. log12 log125.(能力題 ,中 )設(shè) f(x)是連續(xù)的偶函數(shù) ,且當(dāng) x0時(shí)是單調(diào)函數(shù) ,則滿足 的所有 x之和為 ( ) A. 3 B. 3 C. 8 D. 8 ? ? 3()4xf x f x ?? ?答案 :C 解析 :因?yàn)?f(x)是連續(xù)的偶函數(shù) ,且 x0時(shí)是單調(diào)函數(shù) ,由偶函數(shù)的性質(zhì)可知若 ? ? 3 3 3( ) , : 。 0 .4 4 4x x xf x f x xx x x? ? ?? ? ? ?? ? ?只 有 兩 種 情 況 ① ②由①知 x2+3x3=0,故兩根之和為 x1+x2=3. 由②知 x2+5x+3=0,故其兩根之和為 x3+x4=5. 因此滿足條件的所有 x之和為 8. 6. (基礎(chǔ)題 ,易 )已知奇函數(shù) f(x)在區(qū)間 [3,7]上是增函數(shù) ,且最小值為 5,那么函數(shù) f(x)在區(qū)間 [4,3]上 ( ) A. 是增函數(shù)且最小值為 5 B. 是增函數(shù)且最大值為 5 C. 是減函數(shù)且最小值為 5 D. 是減函數(shù)且最大值為 5 答案 : B 解析 :∵f(x) 為奇函數(shù) ,∴f(x) 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 . ∵f(x) 在 [3,7]上是增函數(shù) , ∴f(x) 在 [7,7]上也是增函數(shù) . ∵f(x) 在 [3,7]上的最小值為 5, ∴ 由圖可知函數(shù) f(x)在 [7,3]上有最大值 5. 評(píng)析 :本題既涉及到函數(shù)的奇偶性 ,又涉及到函數(shù)的單調(diào)性 ,還涉及到函數(shù)的最值 ,是一道綜合性較強(qiáng)的題目 ,由于所給的函數(shù)沒(méi)有具體的解析式 ,因此我們畫出函數(shù) f(x)在區(qū)間 [3,7]上的示意圖 ,由圖形易得結(jié)論 . 二 ?填空題 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?. ( 201 0 , ) ( ) ,112 1 0 , 1 , 2 ,24200 9 ___ ___ __ .fxx f x f x f ff?? ? ? ? ? ? ??7R★ 新 創(chuàng) 題 中 已 知 函 數(shù) 的 定 義 域 為且 f則1:4?答 案8. (2022 湖北八校 )(能力題 ,中 )設(shè)函數(shù) f(x)的定義域 ?值域分別為 A?B,且 A∩B 是單元集 ,下列命題 ①若 A∩B={a}, 則 f(a)=a。 ② 若 B不是單元集 ,則滿足 f[f(x)]=f(x)的 x值可能不存在 。 ③ 若 f(x)具有奇偶性 ,則 f(x)可能為偶函數(shù) 。 ④ 若 f(x)不是常數(shù)函數(shù) ,則 f(x)不可能為周期函數(shù) . 其中 ,正確命題的序號(hào)為 ________. ②③ 解析 :如 f(x)=x+1,A=[1,0],B=[0,1]滿足 A∩B={0}, 但f(0)≠0, 且滿足 f[f(x)]=f(x)的 x可能不存在 ,① 錯(cuò) ,② 正確 。如 ,f(x)=1,A=R,B={1},則 f(x)=1,A=R是偶函數(shù) ,③ 正確 。如f(x)=x2k+1,A=[2k1,2k],B=[0,1],k∈Z,f(x) 是周期函數(shù) ,但不是常函數(shù) ,所以④錯(cuò)誤 . 9. (能力題 ,中 )對(duì)于定義在 R上的函數(shù) f(x),有下述四個(gè)命題 ,其中正確命題的序號(hào)為 ________. ① 若 f(x)是奇函數(shù) ,則 f(x1)的圖象關(guān)于點(diǎn) A(1,0)對(duì)稱 。 ② 若對(duì) x∈R, 有 f(x+1)=f(x1),則 y=f(x)的圖象關(guān)于直線 x=1對(duì)稱 。 ③ 若函數(shù) f(x1)的圖象關(guān)于直線 x=1對(duì)稱 ,則 f(x)為偶函數(shù) 。 ④ 函數(shù) y=f(1+x)與函數(shù) y=f(1x)的圖象關(guān)于直線 x=1對(duì)稱 . ①③ 解析 :f(x1)的圖象是由 f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位而得到 ,又 f(x)是奇函數(shù) ,其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ,所以 f(x1)的圖象關(guān)于點(diǎn) A(1,0)對(duì)稱 ,故①正確 。 由 f(x+1)=f(x1)可知 f(x)的周期為 2,無(wú)法判斷其對(duì)稱軸 ,故②錯(cuò)誤 。 f(x1)的圖象關(guān)于直線 x=1對(duì)稱 ,則 f(x)關(guān)于 y軸對(duì)稱 ,故 f(x)為偶函數(shù) ,③ 正確 。 y=f(1+x)的圖象是由 y=f(x)的圖象向左平移一個(gè)單位后得到 ,y=f(1x)是由 y=f(x)的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱后再向右平移一個(gè)單位而得到 ,兩者圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱 ,故④錯(cuò)誤 . 三 ?解答題 10. (能力題 ,中 )設(shè)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,y,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),當(dāng) x0時(shí) ,f(x)0,求證 :(1)f(x)為奇函數(shù) 。(2)f(x)在 (∞,+∞) 上是減函數(shù) . 證明 :(1)令 x=y=0,得 f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0. 再令 y=x,得 f(0)=f(x)+f(x), ∴f( x)=f(x),∴f(x) 為奇函數(shù) . (2)設(shè) x1?x2∈( ∞,+∞) 且 x1x2,則 x2x10, ∵ 當(dāng) x0時(shí) ,f(x)0,∴f(x 2x1)0. 又 ∵ 對(duì)于任意的實(shí)數(shù) x,y都有 f(x+y)=f(x)+f(y)且 f(x)為奇函數(shù) , ∴f(x 2x1)=f[x2+(x1)]=f(x2)+f(x1)=f(x2)f(x1). ∴f(x 2)f(x1)0,∴f(x) 在 (∞,+∞) 上是減函數(shù) . 11. (能力題 ,中 )已知 f(x)是定義在 [1,1]上的奇函數(shù) ,對(duì)于任意的 a?b∈ [ 1,1],當(dāng) a+b≠0 時(shí) ,都有 (1)求證 :f(x)在 [1,1],上是減函數(shù) . ? ? ? ? a f bab? ??11( 2 ) ( ) ( ) 0 .24f x f x? ? ? ?解 不 等 式評(píng)析：函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性常常與解不等式綜合，應(yīng)加 強(qiáng)理解與體會(huì)． 12. (能力題 ,中 )設(shè)函數(shù) f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ,且滿足 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1212211f x f xf x xf x f x????①② 存在正常數(shù) a,使 f(a)=1. 求證 :(1)f(x)是奇函數(shù) 。 (2)f(x)是周期函數(shù) ,并且有一個(gè)周期為 4a.
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