第二章平面問(wèn)題的基本理論-資料下載頁(yè)
2025-08-01 13:02本頁(yè)面
【正文】 0, ????? xyyx YyXx ???。,0,0 YxXyxyyx ????? ???(3) , YyXxYyXx yx ?????? ??(2) 通解 式 (a) 的齊次方程： (c) (d) 的通解。 00????????????yxyxyxyxyx????將式 (d)第一式改寫為 )( xyxyx yyx ??? ??????????由微分方程理論，必存在一函數(shù) A(x,y)，使得 yyxAx ??? ),(? (e) yyxBxyxA????? ),(),((f) 同理，將式 (d)第二式改寫為 )( yxyxy xxy ??? ??????????xyxAxy ???? ),(?yyxBxy ???? ),(?(g) (h) 比較式 ( f )與 (h)，有 xyxBy ??? ),(?也必存在一函數(shù) B(x,y)，使得 (2) 通解 式 (a) 的齊次方程： (d) 的通解。 00????????????yxyxyxyxyx????由微分方程理論，必存在一函數(shù) φ(x,y)，使得 xyxyxB??? ),(),( ?yyxyxA??? ),(),( ? (i) (j) 將式 (i)、 (j) 代入 (e)、 (f)、 (g)、 (h)，得 通解： yxxy ????? ?? 2,22yx ??? ??,22xy ??? ?? (k) (2) 通解 式 (a) 的齊次方程： (d) 的通解： 0?????? yx yxy ??0?????? yx xyx ??yxxy ????? ?? 2,22yx ??? ??,22xy ??? ?? (k) —— 對(duì)應(yīng)于平衡微分方程的齊次方程通解 。 (3) 全解 取特解為： 。0, ????? xyyx YyXx ???則其全解為： Yyxy ???? 22??Xxyx ???? 22??yxxy ????? ?? 2—— 常體力下平衡方程（ a）的全解。 由上式看：不管 φ(x,y)是什么函數(shù)，都能滿足平衡方程。 φ(x,y) —— 平面問(wèn)題的 應(yīng)力函數(shù) —— Airy 應(yīng)力函數(shù) Yyxy ???? 22??Xxyx ???? 22??yxxy ????? ?? 2將右邊式代入常體力下的相容方程： 0)(2222???????????????yxyx ??有： 022222222???????????????????????????yyxx??注意到體力 X、 Y 為常量，有 022222222????????? ???????????????????? YyyXxyxx??將上式展開(kāi)，有 02 4422444??????????yyxx???—— 應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程 給出了應(yīng)力函數(shù)滿足的條件。 將右邊式代入常體力下的相容方程： 0)(2222???????????????yxyx ??有： 022222222???????????????????????????yyxx??注意到體力 X、 Y 為常量，有 022222222????????? ???????????????????? YyyXxyxx??將上式展開(kāi)，有 02 4422444?????? ???? yyxx ???—— 應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程 給出了應(yīng)力函數(shù)滿足的條件。 上式可簡(jiǎn)記為： 04 ?? ?或： 0)(22 ??? ?式中： 224 ????22222yx ???????44224444 2yyxx ???????????滿足相容方程的函數(shù) φ(x,y) 稱為重調(diào)和函數(shù)（或雙調(diào)和函數(shù)） 結(jié)論： 應(yīng)力函數(shù) φ應(yīng)為一 重調(diào)和函數(shù) 按應(yīng)力求解平面問(wèn)題（ X = 常量、 Y = 常量）的歸結(jié)為： （ 1） 02 4422444?????? ???? yyxx ???（ 2） xyyx ??? ,然后將由 求出應(yīng)力分量： ),( yx?先由相容方程求出應(yīng)力函數(shù)： ),( yx?（ 3） 再讓 滿足應(yīng)力邊界條件和位移單值條件（多連體問(wèn)題）。 xyyx ??? ,? ?04 ?? ?Yyxy ???? 22??Xxyx ????22?? yxxy ????? ??2yxxy ????? ?? 222yx ??? ??22xy ??? ??（無(wú)體力情形） 例 圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。 例 圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。 左側(cè)面： 0,1 ?? ml 0?? YXYlmXmlsxysysxysx????)()()()(????代入應(yīng)力邊界條件公式 ? ?? ???????????0hxxyhxx y???右側(cè)面： 0,1 ??? ml 0, ?? YyX ?代入應(yīng)力邊界條件公式，有 ? ?? ????????00hxxyhxx??上端面： 為次要邊界，可由圣維南原理求解。 y方向力等效： dxyhh y 0)( ??? ??sinP??對(duì) O點(diǎn)的力矩等效： x d xyhh y 0)( ??? ? ?s in2hP??x方向力等效： dxyhh yx 0)( ??? ??cosP?y?yx?注意： xyy ?? ,必須按正向假設(shè)！ y??Px y yx?上端面： （方法 2） 取圖示微元體， 0? ?yF ? ?dxyhh y 0??? ?? ? ?? s in0 Pdxh h yy ???? ?0s in ?? ?P? ? 0OM ? ? x d xyhh y 0??? ?0s in2 ??? ?hPx d xyhh y 0)( ??? ? ?s in2hP??? ? 0xF ? ? dxyhh yx 0???? 0c o s ?? ?Pdxyhh yx 0)( ??? ??cosP?可見(jiàn)，與前面結(jié)果相同。 注意： xyy ?? ,必須按正向假設(shè)！ 由微元體的平衡求得， 。, 144321 yCxCyCxCCxC xyyx ?????? ???（ 1） 。2, 222 C x yybxa x y xyyx ??? ???（ 2） 下面給出平面應(yīng)力問(wèn)題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。 思考題 1. 2. 試用圣維南原理寫出梁固定端的應(yīng)力邊界條件。 l h h y x
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