第二章優(yōu)化設(shè)計(jì)的理論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-資料下載頁
2025-08-01 13:02本頁面
【正文】 ，可對上式求導(dǎo)而得， 則切線斜率為 過點(diǎn) 橢圓切線斜率分別記為 K1， k2，則有： 當(dāng)所引的兩條直線平行，且切于等值線（橢圓 )于點(diǎn) , ,則該兩條切線斜率相等， k1=k2，即 ④ 分別將切點(diǎn) 與坐標(biāo)原點(diǎn)相連接，兩直線 ox1， ox2 的斜率分別記為 )1(x )2(x)1(1)1(201 xxk ?)2(1)2(202 xxk ?如果有 ，說明兩點(diǎn)連線必通過坐標(biāo)原點(diǎn) o（橢圓中心） 將式④寫成 0201 kk ?或 將上式展開整理后得 由于函數(shù) F（ x1， x2）是二次齊次函數(shù)，圖形為橢圓，所以 ，則必有 。 由此證明得出，點(diǎn) ， 連線必定通過橢圓中心點(diǎn) o。 若在切于橢圓的直線上取方向 S1，連接兩個(gè)切點(diǎn) ， 為方向 S2，則 S1， S2為共軛方向。如果從某任意初始點(diǎn) 出發(fā)，依次沿方向 S1， S2做兩次一維搜索，即可達(dá)到橢圓 中心 —— 此函數(shù) F（ x）的極小點(diǎn)。 對于一般的二元二次正定函數(shù) ， 按其共軛方向進(jìn)行兩次搜索也必定達(dá)到函數(shù)的極小點(diǎn)。此情 況目標(biāo)函數(shù)等值線仍是橢圓，但其中心不在坐標(biāo)原點(diǎn)。 二次收斂性是指一種算法，如果對于二次正定函數(shù)，從理論 上只要進(jìn)行有限次一維搜索 ， 就可以達(dá)到理論極小點(diǎn)，把這種算 法稱為具有 二階收斂性（二次收斂性） 或 有限步收斂法。 對于一般的 n元二次正定函數(shù) F（ x），依次按共軛矢量系 （ S1， S2…… Sn）中各矢量方向進(jìn)行 n維一次搜索，就可達(dá)等值 線（橢圓）中心 —— 理論極小值點(diǎn) 。 例題 2：設(shè)二維目標(biāo)函數(shù) ，給定方向 S1=e1， 初始點(diǎn) 。求與 S1相共軛的 S2，并求函數(shù)的極小點(diǎn)。 解 ： ⑴ 第一個(gè)搜索方向 。 ⑵ 函數(shù)的海塞矩陣 對稱正定。 可知函數(shù) F（ x）為二次正定函數(shù)，如果按共軛方向 S1， S2，進(jìn)行兩次一維搜索就達(dá)到目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn) x*。 ⑶ 從 點(diǎn)沿 S1方向求極小點(diǎn) ，即 沿 S1 方向 則 ⑷ 任取初始點(diǎn) ，沿 S1方向一維搜索求得該方向極小 點(diǎn) [按⑶的做法 ] ⑸ 求與 S1相共軛的方向 S2 核驗(yàn)計(jì)算 矢量 S1與 S2為對 A矩陣共軛 ⑹ 從 點(diǎn)出發(fā)，沿 S2方向作一維搜索， 得極小點(diǎn) 如右圖所示。
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1