立體幾何大題綜合四大類型-資料下載頁(yè)
2025-07-24 12:09本頁(yè)面
【正文】 F∥PD,從而CDEF,由此得CD面BEF. （Ⅱ）,則在△PAC中易知EG∥PA底面ABCD,，過(guò)G作GHBD,垂足為H,.設(shè)AB=a,則在△PAC中，有EG=PA=ka.以下計(jì)算GH，.因S△GBD=BDGH=GBDF.故GH=.在△ABD中，因?yàn)锳B＝a,AD=2a,得BD=a.而GB=FB=AD=a，DF=AB,從而得GH== ＝因此tan∠EHG==由k＞0知是銳角，故要使＞，必須＞tan=解之得，k的取值范圍為k＞考點(diǎn)五：探索性問(wèn)題例9： 如圖，已知四棱錐S—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD內(nèi)，且O到AB、AD的距離分別為2和1.（I）求證是定值； （II）已知P是SC的中點(diǎn)，且SO=3，問(wèn)在棱SA上是否存在一點(diǎn)Q，使得異面直線OP與BQ所成的角為90176。？若存在，請(qǐng)給出證明，并求出AQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：法一：（I）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)S所在直線為Oz軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系……1分 設(shè)S（0，0，z）（z0，z∈R） 則 即為定值. （II）由（I）建立的空間直角坐標(biāo)系可知 A（2，－1，0），B（2，3，0）C（－2，3，0），S（0，0，3）P（－1，）設(shè)點(diǎn)Q（x，y，z），則存在λ使……………………12分法二：（I）證明：在△SDC內(nèi)，作SE⊥CD交CD于E，連結(jié)OE……1分∵SO⊥平面ABCD ∴SO⊥CD ∴CD⊥平面SOE ∴SO⊥OE∴OE//AD ∴DE=1從而CE=3即為定值. 練習(xí)6： 如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D為AC的中點(diǎn). （Ⅰ）求證：AB1//面BDC1； （Ⅱ）求二面角C1—BD—C的余弦值； （Ⅲ）在側(cè)棱AA 1上是否存在點(diǎn)P，使得CP⊥面BDC1？并證明你的結(jié)論.（I）證明： 連接B1C，與BC1相交于O，連接OD ∵BCC1B1是矩形，∴，∴OD//AB1.∵AB 1面BDC 1，OD面BDC1∴AB1//面BDC1. （II）解：如力，建立空間直角坐標(biāo)系，則 C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0） 設(shè)=（x1，y1，z1）是面BDC1的一個(gè)法向量，則即.…………6分易知=(0，3，0)是面ABC的一個(gè)法向量.∴二面角C1—BD—C的余弦值為 （III）假設(shè)側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1. 則 ∴方程組無(wú)解.∴假設(shè)不成立. ∴側(cè)棱AA1上不存在點(diǎn)P，使CP⊥面BDC1. 練習(xí)7． 直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90176。，BC=AC=2，AA1=4，D為棱CC1上的一動(dòng)點(diǎn)，M、N分別為△ABD、△A1 B1D的重心. （Ⅰ）求證：MN⊥AB； （Ⅱ）若二面角C—AB—D的正切值為，求二半平面ABD、A1B1D所成銳二面角的余弦值； （Ⅲ）若點(diǎn)C1在平面A1B1D上的射影正好為N，試判斷C在平面ABD上的射影是否為M？并說(shuō)明理由.．解：（I）以C1為原點(diǎn)，C1A1為x軸，C1B1為y軸，C1C為z軸建立坐標(biāo)系. 設(shè)C1D=a(0≤a≤4)，由題意有 C1（0，0，0），A1（2，0，0），B1（0，2，0），C（0，0，4），A（2，0，4）B（0，2，4），D（0，0，a）.………………………………………………1分∵M(jìn)、N分別為△ABD，△A1B1D的重心，（注：也可以不用向量證法） （II）平面ABC法向量=（0，0，1），設(shè)平面ABD的法向量=（x1，y1，z1），則 設(shè)二面角C—AB—D的大小為θ，則由，解得a=2，（a=6舍去），∴=（－1，－1，1）.……………………………………7分設(shè)平面A1B1D的法向量∴半平面ABD，A1B1D所成銳二面角的余弦值為：.（III）若點(diǎn)C1在平面A1B1D上的射影正好為N，則 解得a=2（a=－2 舍去）. ∵D為CC1的中點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性知C在平面ABD上的射影正好為M.……12分23
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