第5課時合情推理與演繹推理-資料下載頁
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【正文】 要準(zhǔn)確無誤方能正確求解． ( 2) 歸納推理的關(guān)鍵是要在部分對象中尋找共同特征或某種規(guī)律性，然后進行歸納、猜想． 1 ． ( 201 3 濟寧模擬 ) 古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．比如： 他們研究過圖 ( 1) 中的 1,3 , 6,10 ， ? ，由于這些數(shù)能夠表示成三角形 ，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖 ( 2) 中的 1 ,4, 9,16 ， ? 這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 ( ) A ． 289 B ． 1 02 4 C ． 1 22 5 D ． 1 37 8 解析： 設(shè)圖 ( 1) 中數(shù)列 1, 3, 6,10 ， ? 的通項為 an，則 a1＝ 1 ， a2－a1＝ 2 ， a3－ a2＝ 3 ， a4－ a3＝ 4 ， ? ， an－ an － 1＝ n . ∴ an＝ a1＋ ( a2－ a1) ＋ ( a3－ a2) ＋ ? ＋ ( an－ an － 1) ＝ 1 ＋ 2 ＋ ? ＋ n ＝n ? n ＋ 1 ?2( n ≥ 2) ． 當(dāng) n ＝ 1 時，有 a1＝1 ? 1 ＋ 1 ?2＝ 1 ， ∴ an＝n ? n ＋ 1 ?2. 圖 ( 2) 中數(shù)列為 bm ，列 bn ＝ m2把選項中的數(shù)代入知選 C. 答案： C 2 ． ( 2022 高考陜西卷 ) 觀察下列不等式： 1 ＋122 ＜32， 1 ＋122 ＋132 ＜53， 1 ＋122 ＋132 ＋142 ＜74 ?? 照此規(guī)律，第五個不等式為 __ ______ ． 解析： 歸納觀察法． 觀察每行不等式的特點，每行不等式左端最后一個分?jǐn)?shù)的分母與右端值的分母相等，且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列． 第五個不等式為 1 ＋122 ＋132 ＋142 ＋152 ＋162 ＜116. 答案： 1 ＋122 ＋132 ＋142 ＋152 ＋162 ＜116. 3 ． ( 2022 高考福建 卷 ) 某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)： ① s i n213176。 ＋ cos217 176。 － s i n 1 3176。 cos 17176。 ； ② s i n215176。 ＋ cos215 176。 － s i n 1 5176。 cos 15176。 ； ③ s i n218176。 ＋ cos212 176。 － s i n 1 8176。 cos 12176。 ； ④ s i n2( － 18 ) 176。 ＋ cos248 176。 － s i n ( － 18 ) 176。 cos 4 8176。 ； ⑤ s i n2( － 25 ) 176。 ＋ cos255 176。 － s i n ( － 25 176。 ) cos 5 5176。 ； ( 1) 試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)； ( 2) 根據(jù) ( 1) 的計算結(jié)果，將該同學(xué)的 發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 解： ( 1) 選擇 ② 式，計算如下： si n215176。 ＋ cos215 176。 － s i n 15176。 cos 15 176。 ＝ 1 －12si n 30 176。 ＝ 1 －14＝34. ( 2) 三角恒等式為 s i n2α ＋ c os2( 30176。 － α ) － si n α cos ( 30 176。 － α ) ＝34. 證明如下： s i n2α＋ co s2( 30 176。 － α ) － s i n α co s( 3 0176。 － α ) ＝ s i n2α ＋ ( cos 30 176。 co s α ＋ s i n 30176。 si n α )2－ s i n α ( c os 3 0176。 co s α ＋ si n 30176。 s i n α ) ＝ s i n2α ＋34cos2α ＋32si n α c os α ＋14si n2α －32si n α cos α －12si n2α ＝34si n2α ＋34cos2α ＝34.
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