第5課時(shí)合情推理與演繹推理(已修改)
2025-08-01 12:19 本頁(yè)面
【正文】 1 ． 了解合情推理的含義，能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用． 2 ．了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理． 3 ．了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異． 第 5課時(shí) 合情推理與演繹推理 【知識(shí)梳理】 1 ． 歸納推理 根據(jù)一類(lèi)事物中 部分事物 具有某種屬性，推斷該類(lèi)事物中 每一個(gè) 都具有這種屬性的推理，叫作歸納推理．歸納推理是由部分到 整體 ，由個(gè)別到 一般 的推理． 歸納推理的一般步驟： ( 1) 通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些 相同屬性 ； ( 2) 從已知的相同屬性中推出一個(gè)明確表述的 一般性命題 ． 2 ． 類(lèi)比推理 ( 1) 根據(jù)兩類(lèi)不同事物之間具有某些類(lèi)似 ( 或一致 ) 性質(zhì)，推測(cè)其中一類(lèi)事物具有另一類(lèi)事物 類(lèi)似 ( 或相同 ) 的性質(zhì)的推理，叫作類(lèi)比推理 ( 簡(jiǎn)稱類(lèi)比 ) ． 類(lèi)比推理的一般步驟： ① 找出兩類(lèi)事物之間的 相似性或一致性 ； ② 用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè) 另一類(lèi)事物的性質(zhì) ，得出一個(gè)明確的命題． ( 2) 前提為真時(shí)，結(jié)論 可能為真 的推理，叫作合情推理． 歸納推理和類(lèi)比推理是數(shù)學(xué)中常用的合情推理． 3 ． 演繹推理 ( 1) 演繹推理：從 一般性的原理 出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理，簡(jiǎn)言之，演繹推理是由 一般到 特殊 的推理． ( 2) 演繹推理的一般模式 —— “ 三段論 ” ： ① 大前提 —— 已知的一般原理； ② 小前提 —— 所研究的特殊情況； ③ 結(jié)論 —— 根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷． 【基礎(chǔ)自測(cè)】 1 ．觀察 ( x2) ′ ＝ 2 x ， ( x4) ′ ＝ 4 x3， ( cos x ) ′ ＝－ s i n x ，由歸納推理可得：若定義在 R 上的函數(shù) f ( x ) 滿足 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，記 g ( x ) 為 f ( x )的導(dǎo)函數(shù)，則 g ( － x ) ＝ ( ) A ． f ( x ) B ．－ f ( x ) C ． g ( x ) D ．－ g ( x ) 解析： 通過(guò)觀察所給的結(jié)論可知，若 f ( x ) 是偶函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)g ( x ) 是奇函數(shù)，故選 D. 答案： D 2 ．在 R 上定義運(yùn)算： x ? y ＝ x (1 － y ) ．若不等式 ( x － a ) ? ( x ＋ a ) ＜ 1對(duì)任意實(shí)數(shù) x 成立，則 ( ) A ．－ 1 ＜ a ＜ 1 B ． 0 ＜ a ＜ 2 C ．－12＜ a ＜32 D ．－32＜ a ＜12 解析： 由題意得， ( x － a ) ( 1 － x － a ) ＜ 1 ，即 x2－ x － ( a2－ a － 1) ＞ 0對(duì)于任意 x 恒成立，所以 Δ ＝ 1 ＋ 4( a2－ a － 1) ＜ 0 ，解得－12＜ a ＜32，故選 C. 答案： C 3 ．已知 △ ABC 中， ∠ A ＝ 30 176。 ， ∠ B ＝ 60176。 ，求證 a ＜ b . 證明： ∵∠ A ＝ 3 0176。 ， ∠ B ＝ 60 176。 ， ∴∠ A ＜ ∠ B ， ∴ a ＜ b ，畫(huà)線部分是演繹推理的 ( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．結(jié)論 D ．三段論 解析： 由推理過(guò)程知 ∠ A ＜ ∠ B 是演繹推理的小前提． 答案： B 4 ． ( 教材改編題 ) 在平面上，若兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的比為 1 ∶ 2 ，則它們的面積比為 1 ∶ 4. 類(lèi)似地，在空間中，若兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)的比為 1 ∶ 2 ，則它們的體積比為 ___ _____ ． 解析：V 1V 2＝S 1S 2h 1h 2＝1412＝18. 答案： 1 ∶ 8 記第 n 行的第 2 個(gè)數(shù)為 a n ( n ≥ 2 ， n ∈ N ＋ ) ，請(qǐng)仔細(xì)觀察上述 “ 三角數(shù)陣 ” 的特征，完成下列各題： ( 1) 第 6 行的 6 個(gè)數(shù)依次為 ______ __ 、 _ ______ _ 、 _ ______ _ 、________ 、 ______ __ 、 __ _____ _ ； 5．觀察如圖所示的 “ 三角數(shù)陣 ” ： ( 2) a2＝ __ ______ ， a3＝ _ _ ______ ， a4＝ ____ ____ ， a5＝ ____ ____ ； ( 3) 歸納出 an ＋ 1與 an的關(guān)系式為 ___ _____ ． 解析： ( 1) 第 6 行的 6 個(gè)數(shù)依次為 6
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