第5課時(shí)合情推理與演繹推理(參考版)
2025-07-23 12:19本頁(yè)面
【正文】 co s α ＋ si n 30176。 co s α ＋ s i n 30176。 － α ) － s i n α co s( 3 0176。 － α ) － si n α cos ( 30 176。 ＝ 1 －12si n 30 176。 － s i n 15176。 ； ( 1) 試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)； ( 2) 根據(jù) ( 1) 的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的 發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 解： ( 1) 選擇 ② 式，計(jì)算如下： si n215176。 － s i n ( － 25 176。 ； ⑤ s i n2( － 25 ) 176。 － s i n ( － 18 ) 176。 ； ④ s i n2( － 18 ) 176。 － s i n 1 8176。 ； ③ s i n218176。 － s i n 1 5176。 ； ② s i n215176。 － s i n 1 3176。 高考福建 卷 ) 某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)： ① s i n213176。 濟(jì)寧模擬 ) 古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)．比如： 他們研究過(guò)圖 ( 1) 中的 1,3 , 6,10 ， ? ，由于這些數(shù)能夠表示成三角形 ，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖 ( 2) 中的 1 ,4, 9,16 ， ? 這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 ( ) A ． 289 B ． 1 02 4 C ． 1 22 5 D ． 1 37 8 解析： 設(shè)圖 ( 1) 中數(shù)列 1, 3, 6,10 ， ? 的通項(xiàng)為 an，則 a1＝ 1 ， a2－a1＝ 2 ， a3－ a2＝ 3 ， a4－ a3＝ 4 ， ? ， an－ an － 1＝ n . ∴ an＝ a1＋ ( a2－ a1) ＋ ( a3－ a2) ＋ ? ＋ ( an－ an － 1) ＝ 1 ＋ 2 ＋ ? ＋ n ＝n ? n ＋ 1 ?2( n ≥ 2) ． 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)，有 a1＝1 ? 1 ＋ 1 ?2＝ 1 ， ∴ an＝n ? n ＋ 1 ?2. 圖 ( 2) 中數(shù)列為 bm ，列 bn ＝ m2把選項(xiàng)中的數(shù)代入知選 C. 答案： C 2 ． ( 2022Sn － 1 ＝ 4 an( n ≥ 2) ． 又 a2＝ 3 S1＝ 3 ， S2＝ a1＋ a2＝ 1 ＋ 3 ＝ 4 ＝ 4 a1， ∴ 對(duì)于任意正整數(shù) n ， 都有 Sn ＋ 1＝ 4 an.( 完全歸納推理 ) (2022 Sn － 1n － 1＝ 4Snn( 小前提 ) 故??????Snn是以 2 為公比的等比數(shù)列． ( 結(jié)論 ) ( 大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了 ) ( 2) 由 ( 1) 可知Sn ＋ 1n ＋ 1＝ 4ax＝－axax＋ a， 所以－ 1 － y ＝ f (1 － x ) ． 所以函數(shù) y ＝ f ( x ) 的圖像關(guān)于點(diǎn)??????12，－12對(duì)稱． ( 2) 由 ( 1) 有－ 1 － f ( x ) ＝ f (1 － x ) ，即 f ( x ) ＋ f (1 － x ) ＝－ 1. ∴ f ( － 2) ＋ f ( 3) ＝－ 1. f ( － 1) ＋ f ( 2) ＝－ 1 ， f ( 0 ) ＋ f ( 1) ＝－ 1 ， 則 f ( － 2) ＋ f ( － 1) ＋ f ( 0 ) ＋ f ( 1) ＋ f ( 2 ) ＋ f ( 3) ＝－ 3. 【方法總結(jié)】 演繹推理是由一般到特殊的推理，數(shù)學(xué)的證明過(guò)程主要是通過(guò)演繹推理進(jìn)行的，只要采用的演繹推理的大前提、小前提和推理形式是正確的，其結(jié)論一定是正確的，一定要注意推理過(guò)程的正確性與完備性． 3 ． ( 2022n － m??????dcn＝n － mdncm ， 方法二： ( 直接類比 ) 設(shè)數(shù)列 { a n } 的公差為 d 1 ，數(shù)列 { b n } 的公比為 q ，因?yàn)榈炔顢?shù)列中 a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1) d 1 ，等比數(shù)列中 b n ＝ b 1 qn － 1，因?yàn)?a m＋ n ＝nb － man － m，所以 b m ＋ n ＝n － mdncm . 【答案】 n － md
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