【正文】 A t ?? ? ?? ? ? ?2 c o s ( )2ya A t?? ? ?? ? ? ?在圖中， 同時得到： 其中： (ωt +φ) 稱相位， φ 稱初相。 力學 000vx???000vx???（需要注意的是 時 , φ 0可在 Ⅰ 、 Ⅲ 象限 , 時 ,φ 0可在 Ⅱ 、 Ⅳ 象限 ,因此還需結合 x0或 v0的正、負才能確定 φ 0所在的象限 .） 力學 由公式可得 xa2??? 由牛頓第二定律簡諧振動的加速度為 xmkmFa ??? 因此有 mk?2? （ 4 ） 簡諧振動的周期 T 也就是參考圓上質(zhì)點的運動周期，所以 kmwT ??? ??22 力學 四 、 簡諧振動的判據(jù) 物體的受力或運動，滿足下列三條件之一者，其運動即為簡諧運動： ①物體運動中所受回復力應滿足 kxF ?? ； ②物體的運動加速度滿足 xa 2??? ； ③物體的運動方程可以表示為 )co s ( 0?? ?? tAx 。 ④ 能量法 :如果質(zhì)點在運動過程中具有形式為 的勢能 ,且 2 2 21 1 12 2 2k x m v k A??212kx其中 v= txt ???? 0lim以上各判定簡諧運動的方法是完全等價的 . 以上各表達式中 x既可以是線量 (線位移 ),又可以是角量(角位移 ),對應的速度相應的是線速度和角速度 ,對應的加速度可以是線加速度和角加速度 . 力學 （ 1 ）恒力對彈簧振子 作用 比較一個在光滑水平面上振動 和另一個豎直懸掛振動的彈簧 振子，如果 m 和 k 都相同，則 它們的振動周期 T 是相同的， 也就是說，一個振動方向上的恒力不會改變振動的周期。如果在電梯中豎直懸掛一個彈簧振子，彈簧原長0l，振子的質(zhì)量為m= 1. 0k g ，電梯靜止時彈簧伸長 l? =0 .1 0 m ，從 t=0 時，開始電梯以 g/2 的加速度加速下降 st ?? , 然后又以 g/2 加速減速下降直 至停止試畫出彈簧的伸長 l? 隨時間 t 變化 圖線。 OTl?l?2?l??2 t五、關于彈簧振子彈簧振子 力學 由于彈簧振子是相對電梯做簡諧運動，而電梯是一個有加速度的非慣性系，因此要考慮彈簧振子所受到的慣性力f 。在勻速運動中，慣性力是一個恒力，不會改變振子的振動周期，振動周期 mkT /2/2 ??? ?? 因為 lmgk ?? / ，所以 )( sglT ?? ??? 因此在電梯向下加速或減速運動的過程中，振動的次數(shù)都為 )(??? ??Ttn 力學 當電梯向下加速運動時，振子受到向上的慣性力 mg/2 ，在此力和重力 mg 的共同作用下，振子的平衡位置在 2//211lkmgl ???? 的地方，同樣，當電梯向下減速運動時，振子的平衡位置在 2/3/232lkmgl ???? 的地方。在電梯向下加速運動期間，振子正好完成 5 次全振動，因此兩個階段內(nèi)振子的振幅都是 2/l? 。彈簧的伸長隨時間變化的規(guī)律如圖 所示 . 如果電梯第二階段的勻減速運動不是從 5T 時刻而是從 4 .5T 時刻開始的，那么 tl ~? 圖線將是怎樣的？ 力學 （ 2 ）彈簧的組合 設有幾個勁度系數(shù)分別為 1k 、 2k ……nk的輕彈簧串聯(lián)起來，組成一個新彈簧組，當這個新彈簧組在 F 力作用下伸長時，各彈簧的伸長為1x，那么總伸長 ???niixx1 各彈簧受的拉力也是 F ，所以有 ii kFx /? 故 ???ni ikFx11 根據(jù)勁度系數(shù)的定義，彈簧組的勁度系數(shù) xFk /? 即得 ???ni ikk11/1 力學 如果上述幾個彈簧并聯(lián)在一起構成一個新的彈簧組，那么各彈簧的伸長是相同的。要使各彈簧都伸長 x ，需要的外力 ??????niiniikxxkF11 根據(jù)勁度系數(shù)的定義，彈簧組的勁度系數(shù) ????niikxFk1 導出了彈簧串、并聯(lián)的等效勁度系數(shù)后，在解題中要靈活地應用，如圖所示的一個振動裝置，兩根彈簧到底是并聯(lián)還 是串聯(lián)？這里我們必須抓住彈簧串并聯(lián)的本質(zhì)特征：串聯(lián)的本質(zhì)特征是每根彈簧受力相同；并聯(lián)的本質(zhì)特征是每根彈簧形 變相同。由此可見圖 中兩根彈簧是串聯(lián)。 m 力學 當 m 向下偏離平衡位置 x? 時，彈簧組伸長了 2 x? ，增加的彈力為 212122kkkkxxkF????? m 受到的合外力（彈簧和動滑輪質(zhì)量都忽略） xkkkkkkkkxF ????????21212121422 所以 m 的振動周期 21214)(2kkkkmT?? ? = 2121)(kkkkm ?? 力學 再看如圖 所示的裝置，當彈簧 1 由平衡狀態(tài)伸長 1l? 時，彈簧 2由平衡位置伸長了 2l? ，那么，由桿的平衡條件一定有（忽略桿的質(zhì)量） blkalk 2211 ???? 1212lbakkl ????? 由于彈簧 2 的伸長，使彈簧 1 懸點下降 122212lbakkbalx ???????? 因此物體 m 總的由平衡位置下降了 22221111 lbakkxlx ?????????????????? m1k2k12b a 力學 此時 m 所受的合外力 1222122111xbkakbkklkF ?????? 所以系統(tǒng)的振動周期 2212221)(2bkkbkakmT?? ? 力學 （ 3 ）沒有固定懸點的彈簧振子 質(zhì)量分別為 Am 和 Bm 的兩木塊 A 和 B ，用一根勁度系數(shù)為 k 的輕彈簧聯(lián)接起來，放在光滑的水平桌面上。現(xiàn)在讓兩木塊將彈簧壓縮后由靜止釋放，求系統(tǒng)振動的周期。 想象兩端各用一個大小為 F 、方向相反的力將彈簧壓縮，假設某時刻 A 、 B 各偏離了原來的平衡位置 Ax 和 Bx ，因為系統(tǒng)受的合力始終是零，所以應該有 BBAA xmxm ? ① A 、 B 兩物體受的力的大小 kxxFFBABA)( ??? ② 力學 由①、②兩式可解得 ABBAAxmmmkF?? BBBABxmmmkF?? 由此可見 A 、 B 兩物體都做簡諧運動，周期都是 )(2BABAmmkmmT?? ? A B 力學 此問題也可用另一種觀點來解釋：因為兩物體質(zhì)心處的彈簧是不動的，所以可以將彈簧看成兩段。如果彈簧總長為 0l ，左邊一段原長為0lmmmBAB? ，勁度系數(shù)為kmmmBBA?；右邊一段原長為0lmmmBAA? ，勁度系數(shù)為kmmmBBA?，這樣處理所得結果與上述結果是相同的，有興趣的同學可以討論，如果將彈簧壓縮之后，不是同時釋放兩個物體，而是先釋放一個，再釋放另一個，這樣兩個物體將做什么運動？系統(tǒng)的質(zhì)心做什么運動？ 力學 【 例 20】 三根長度均為 l=，質(zhì)量均勻的直桿，構成一正三角形框架 ABC． C點懸掛在一光滑水平轉(zhuǎn)軸上，整個框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動．桿 AB是一導軌，一電動玩具松鼠可在導軌上運動，如圖所示．現(xiàn)觀察到松鼠正在導軌上運動，而框架卻靜止不動，試論證松鼠的運動是 — 種什么樣的運動． 分析： (1)框架靜止不動的條件分析． 松鼠對它的壓力及沿桿方向作 用力的合力必通過懸點 C． (2)根據(jù) (1)中兩個力滿足的條 件分析得出松鼠沿桿方向受到 的外力特征，從而確定松鼠的 運動為簡諧運動這一結論． 力學 解： 先以剛性框架為研究對象．當框架處于靜止狀態(tài)時，作用于框架的各個力對轉(zhuǎn)軸 C的力矩之和在任何時刻；郎應等于零．設在某一時刻，松鼠離桿 AB的中點 O的距離為 x，如圖所示．松鼠在豎直方向?qū)к壍淖饔昧Φ扔谒墒笫艿降闹亓?mg， m為松鼠的質(zhì)量．此重力 對轉(zhuǎn)軸 C的力矩的大小為 mgx，方向沿 順時針方向．為使框架平衡，松鼠必 須另對桿 AB施一水平方向的力 F，且 F 對轉(zhuǎn)軸 C的力矩應與豎直方向的重力 產(chǎn)生的力矩大小相等，方向相反．即 當表示松鼠位置的坐標 x為正時， F沿 x的正方向．當 x為負時， F沿 x的負方 向，如圖所示，并滿足平衡條件 力學 sin 60 3 / 2m gx F l F l? ? ? ① 式中 l 為桿的長度，所以 2 / ( 3 )F mgx l? ② 即松鼠在水平方向上作用于桿 AB 的力要因松鼠所在的位置不同而進行調(diào)整，保證②式得到滿足． 再以松鼠為研究對象．松鼠在運動過程中，沿豎直方向受到的合力為零，在水平方向受到桿 AB 的作用力為 F ’ ，根據(jù)牛頓第三定律，此力即 F 的反作用力，即39。 2 /( 3 )F m gx l??，可見，松鼠在水平方向受到的作用力 F ’ 作用下的運動應是以 O 點為平衡位置的簡諧運動，其振動的周期為 2 / 2 3 / ( 2 ) 2 . 6 4T m k l g s??? ? ?。 力學 當松鼠運動到桿 AB的兩端時，它應反向運動，按簡諧運動規(guī)律，速度必須為零，所以松鼠做簡諧運動的振幅應小于或等于 l/2＝ ． (振幅等于 質(zhì)點相對應 ) 由以上論證可知：松鼠在導軌 AB上的運動是以 AB的中點 O為平衡位置，振幅不大于 lm，周期為 運動． 力學 【 例 21】 如圖所示，一個倔強系數(shù)為 k、豎直放置的輕質(zhì)彈簧，下端固連于地面，上端連一質(zhì)量為 M的物塊 A，處于平衡狀態(tài)。另有一質(zhì)量為 m的小物塊 B自物塊 A上方 h高度處自由下落，并與 A作完全非彈性碰撞，然后 A和 B在彈力和重力的共同作用下，作簡諧振動。若把新的平衡位置作為坐標原點，豎直向上為 x軸正向，試寫出這個簡諧振動的振動方程。設 B和 A碰后瞬間作為時間起點，即 t＝ 0。 分析：當 B落在 A上作完全非彈性碰撞，然后 B和 A共同參與簡諧振動。根據(jù)能量、動量關系可求出兩物體共同運動的初速度、位移（相對平衡位置）及共同振動的振幅，從而求出振動方程。 力學 B和 A碰后的共同速度就是簡諧振動的初速度。當 m下落 h高度，則速度為 2mv g h?0()mm v M m v??0 2mv g hMm?? ? 考慮豎直向上為 x軸正向。 B和 A成為一個整體后，新的平衡位置作為坐標原點，那么初始位移的大小就是 B和 A相碰處 (即 M的初始位置 )離新平衡位置的距離。這個距離 x0滿足 0m g k x? 0 mgxk?在 x軸正向取為豎直向上，初位移就是一個正值。根據(jù)前面分析，初相位可以寫成 002a r c t a n t a n()v hka r cx M m g? ???? ? ??????力學 2 2 22 002()v m g m g hAxk k M m??? ??? ? ? ????? ?????其中已利用 ，系統(tǒng)諧振動方程為 2 kMm? ? ?c o s ( )x A t????2 222c o s a r c ta n( ) ( )m g m g h k h ktk k M m