高中物理競賽——振動及波習題-資料下載頁
2025-06-08 00:07本頁面
【正文】 （★說明：如果我們狹義地理解為波源就在坐標原點的話，題目給出特解是不存在的——因為波向?x方向傳播——所以，此處的波源不在原點。同學們自己理解：由于初相φ的任意性，上面的波動方程對波源不在原點的情形也是適用的。）參照簡諧運動的位移方程和速度方程的關系，可以得出上面波動方程所對應質點的速度（復變函數）v = ?ωAsin〔ω（t ）+ φ〕代t = ，有——yP = 6cos〔6π（2 ）+ φ〕= 3 ，vP = ?36πsin〔6π（2 ）+ φ〕＞ 0即 6π（2 ）+ φ = 2k1π ①代t = ，有——yQ = 6cos〔6π（2 ）+ φ〕= 0 ，vQ = ?36πsin〔6π（2 ）+ φ〕＜ 0即 6π（2 ）+ φ = 2k2π + ②又由于 = 22 ? 12 = 10 ＜λ ，故k1 = k2 。解①②兩式易得v = ?72cm/s ， φ= （或?）所以波動方程為：y = 6cos〔6π（t + ）+ 〕，且波長λ= v = 24cm 。當t = 0時，y = 6cos（x + ），可以描出yx圖象為——答案：波動方程為y = 6cos〔6π（t + ）+ 〕，t = 0時的波形圖如圖22所示。相關變換：同一媒質中有甲、乙兩列平面簡諧波，波源作同頻率、同方向、同振幅的振動。兩波相向傳播，波長為8m ，波傳播方向上A、B兩點相距20m ，甲波在A處為波峰時，乙波在B處位相為? ，求AB連線上因干涉而靜止的各點的位置。解：因為不知道甲、乙兩波源的位置，設它們分別在S1和S2兩點，距A、B分別為a和b ，如圖23所示。它們在A、B之間P點（坐標為x）形成的振動分別為——y甲 = Acosω（t ）= Acos〔ωt ? （a + x）〕y乙 = Acosω（t ? ）= Acos〔ωt ? （20 + b ? x）〕這也就是兩波的波動方程（注意：由于兩式中a、b、x均是純數，故乙波的速度矢量性也沒有表達）當甲波在A處（x = 0）為波峰時，有 ωt = ①此時，乙波在B處（x = 20）的位相為? ，有 ωt ? = ? ②結合①②兩式，得到 b ? a = 2所以，甲波在任意坐標x處的位相 θ甲 = ωt ? （a + x） 乙波則為θ乙 = ωt ? （22 + a ? x）兩列波因干涉而靜止點，必然滿足θ甲 ?θ乙 =（2k 1）π 所以有 x = 13 ? 4k ，其中 k = 0，177。1，177。2，…在0~20的范圍內，x = 117m答：距A點1m、5m、9m、13m、17m的五個點因干涉始終處于靜止狀態(tài)。思考：此題如果不設波源的位置也是可以解的，請同學們自己嘗試一下…（后記：此題直接應用波的干涉的結論——位相差的規(guī)律，如若不然，直接求y甲和y乙的疊加，解方程將會困難得多。此外如果波源不是“同方向”振動，位相差的規(guī)律會不同。）
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