【正文】 如圖所示．第一次，m1懸空，m2放在斜面上，用t表示m2自斜面底端由靜止開始運動至斜面頂端所需的時間．第二次，將m1和m2位置互換，使m2懸空，m1放在斜面上，發(fā)現(xiàn)m1自斜面底端由靜止開始運動至斜面頂端所需的時間為．求m1與m2之比．參考解答：第一次，小物塊受力情況如圖所示，設(shè)T1為繩中張力，a1為兩物塊加速度的大小， l為斜面長，則有m1gm2gaN1T1T1 (1) (2) (3)第二次，m1與m2交換位置．設(shè)繩中張力為T2，兩物塊加速度的大小為a2，則有 (4) (5) (6)由 (1)、(2) 式注意到a =30176。得 (7)由 (4)、(5) 式注意到a =30176。得 (8)由 (3)、(6) 式得 (9)由 (7)、(8)、(9) 式可解得 (10)評分標準本題15分，（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）式各2分，求得（10）式再給3分ACROBq十、第21屆預(yù)賽，（15分）如圖所示，B是質(zhì)量為mB、半徑為R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上．A是質(zhì)量為mA的細長直桿，被固定的光滑套管C約束在豎直方向，A可自由上下運動．碗和桿的質(zhì)量關(guān)系為：mB ＝2mA．初始時，A桿被握住，使其下端正好與碗的半球面的上邊緣接觸（如圖）．然后從靜止開始釋放A，A、B便開始運動．設(shè)A桿的位置用q 表示，q 為碗面的球心O 至A桿下端與球面接觸點的連線方向和豎直方向之間的夾角．求A與B速度的大?。ū硎境蓂 的函數(shù)）．參考答案：由題設(shè)條件知，若從地面參考系觀測，則任何時刻，A沿豎直方向運動，設(shè)其速度為vA，B沿水平方向運動，設(shè)其速度為vB．若以B為參考系，從B觀測，則A桿保持在豎直方向，它與碗的接觸點在碗面內(nèi)作半徑為R的圓周運動，速度的方向與圓周相切，設(shè)其速度為VA．桿相對地面的速度是桿相對碗的速度與碗相對地面的速度的合速度，速度合成的矢量圖如圖中的平行四邊形所示．由圖得ORvBvAqVAAB (1) (2)因而 (3)由能量守恒 (4)由(3)、(4) 兩式及得 (5) (6)評分標準：本題（15）分．（1）、（2）式各3分，（4）式5分，（5）、（6）兩式各2分．1B2DC3A十一、第21屆預(yù)賽，（18分）如圖所示，定滑輪B、C與動滑輪D組成一滑輪組，各滑輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦、滑輪的質(zhì)量均不計．在動滑輪D上，懸掛有砝碼托盤A，跨過滑輪組的不可伸長的輕線的兩端各掛有砝碼2和3．一根用輕線（圖中穿過彈簧的那條豎直線）拴住的壓縮輕彈簧豎直放置在托盤底上，彈簧的下端與托盤底固連，上端放有砝碼1（兩者未粘連）．已知三個砝碼和砝碼托盤的質(zhì)量都是m，彈簧的勁度系數(shù)為k，壓縮量為l0，整個系統(tǒng)處在靜止狀態(tài)．現(xiàn)突然燒斷拴住彈簧的輕線，彈簧便伸長，并推動砝碼1向上運動，直到砝碼1與彈簧分離．假設(shè)砝碼1在以后的運動過程中不會與托盤的頂部相碰．求砝碼1從與彈簧分離至再次接觸經(jīng)歷的時間．參考答案：設(shè)從燒斷線到砝碼1與彈簧分離經(jīng)歷的時間為Dt，在這段時間內(nèi)，各砝碼和砝碼托盤的受力情況如圖1所示：圖中，F(xiàn)表示Dt時間內(nèi)任意時刻彈簧的彈力，T表示該時刻跨過滑輪組的輕繩中的張力，mg為重力，T0為懸掛托盤的繩的拉力．因D的質(zhì)量忽略不計，有 (1)在時間Dt內(nèi)任一時刻，砝碼1向上運動，托盤向下運動，砝碼3則向上升起，但砝碼3與托盤速度的大小是相同的．設(shè)在砝碼1與彈簧分離的時刻，砝碼1的速度大小為v1，砝碼3與托盤速度的大小都是v2，由動量定理，有Tmg2Tmg3T0mg圖2 (2) (3) (4) (5)式中IF、Img、IT、分別代表力F、mg、T、T0在Dt時間內(nèi)沖量的大小。注意到式(1)，有 (6)由(2)、(3)、(4)、(5)、(6)各式得 (7)在彈簧伸長過程中，彈簧的上端與砝碼1一起向上運動，下端與托盤一起向下運動．以Dl1表示在Dt時間內(nèi)彈簧上端向上運動的距離，Dl2表示其下端向下運動的距離．由于在彈簧伸長過程中任意時刻，托盤的速度都為砝碼1的速度的1/3，故有 (8) 另有 (9)在彈簧伸長過程中，機械能守恒，彈簧彈性勢能的減少等于系統(tǒng)動能和重力勢能的增加，即有 (10)由(7)、(8)、(9)、(10) 式得 (11)砝碼1與彈簧分開后，砝碼作上拋運動，上升到最大高度經(jīng)歷時間為t1，有 (12)砝碼3和托盤的受力情況如圖2所示，以表示加速度的大小，有Tmg2Tmg3T0mg圖2 (13) (14) (15) （16）由 (14)、(15) 和(16)式得 (17)托盤的加速度向上，初速度v2向下，設(shè)經(jīng)歷時間t2，托盤速度變?yōu)榱?，? (18)由 (7)、(12)、(17) 和(18)式，得 (19)即砝碼1自與彈簧分離到速度為零經(jīng)歷的時間與托盤自分離到速度為零經(jīng)歷的時間相等．由對稱性可知，當(dāng)砝碼回到分離位置時，托盤亦回到分離位置，即再經(jīng)歷t1，砝碼與彈簧相遇．題中要求的時間 (20)由 (11)、(12)、(20) 式得 (21)評分標準： （7）式給5分，求得（11）式給5分，（17）、（19）、（20）、（21）式各2分．AB十二、第22屆預(yù)賽，（25分）一質(zhì)量為m的小滑塊A沿斜坡由靜止開始下滑，與一質(zhì)量為km的靜止在水平地面上的小滑塊B發(fā)生正碰撞，如圖所示．設(shè)碰撞是彈性的，且一切摩擦不計．為使二者能且只能發(fā)生兩次碰撞，則k的值應(yīng)滿足什么條件？參考答案：設(shè)A與B碰撞前A的速度為v0，碰后A與B的速度分別為v1與V1，由動量守恒及機械能守恒定律有 (1) (2)由此解得 (3) (4)為使A能回到坡上，要求v10，這導(dǎo)致k1；為使A從坡上滑下后再能追上B，應(yīng)有，即，這導(dǎo)致，于是，為使第二次碰撞能發(fā)生，要求k 3 (5)對于第二次碰撞，令v2和V2分別表示碰后A和B的速度，同樣由動量守恒及機械能守恒定律有： 由此解得 (6) (7)若v20，則一定不會發(fā)生第三次碰撞，若v20，且，則會發(fā)生第三次碰撞．故為使第三次碰撞不會發(fā)生，要求A第三次從坡上滑下后速度的大小不大于B速度的大小，即 (8)由(6)、（7）、（8）式得 （9）由 k2－10 k + 5 = 0 可求得 (9)式的解為 (10)(10)與(5)的交集即為所求： (11) 評分標準：本題25分．求得(3)、(4) 式各得3分，求得（5）式得4分，求得（6）、（7）、（8）、（10）和（11）式各得3分．a(chǎn)ObABCDF十三、第22屆預(yù)賽，（30分）如圖所示，一根長為L的細剛性輕桿的兩端分別連結(jié)小球和，它們的質(zhì)量分別為ma和 mb. 桿可繞距球為L/4處的水平定軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動．初始時桿處于豎直位置．小球幾乎接觸桌面．在桿的右邊水平桌面上，緊挨著細桿放著一個質(zhì)量為m的立方體勻質(zhì)物塊，圖中ABCD為過立方體中心且與細桿共面的截面．現(xiàn)用一水平恒力F作用于球上，使之繞軸逆時針轉(zhuǎn)動，求當(dāng)a轉(zhuǎn)過a 角時小球b速度的大?。O(shè)在此過程中立方體物塊沒有發(fā)生轉(zhuǎn)動，且小球b與立方體物塊始終接觸沒有分離．不計一切摩擦．參考答案：如圖所示，用表示a轉(zhuǎn)過角時球速度的大小，表示此時立方體速度的大小，則有 （1）aFaObABCD由于與正立方體的接觸是光滑的，相互作用力總是沿水平方向，而且兩者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符號相反，做功的總和為0．因此在整個過程中推力所做的功應(yīng)等于球、和正立方體機械能的增量．現(xiàn)用表示此時球速度的大小，因為、角速度相同，，所以得 （2） 根據(jù)功能原理可知 （3）將（1）、（2）式代入可得 解得 （4）評分標準：本題30分．（1）式7分，（2）式5分，（3）式15分，（4）式3分．