第九講空間幾何體的表面積和體積-資料下載頁
2025-06-30 23:35本頁面
【正文】 球的幾何要素。例18．（1）表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個正四棱柱的表面積。（2）正四面體ABCD的棱長為a，球O是內(nèi)切球，球O1是與正四面體的三個面和球O都相切的一個小球，求球O1的體積。解：（1）設(shè)球半徑為，正四棱柱底面邊長為，則作軸截面如圖，，又∵，∴，∴，∴，∴（2）如圖，設(shè)球O半徑為R，球O1的半徑為r，E為CD中點，球O與平面ACD、BCD切于點F、G，球O1與平面ACD切于點H 由題設(shè)∵ △AOF∽△AEG ∴ ，得∵ △AO1H∽△AOF ∴ ，得∴ 點評：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點是面的中心，球心到各面的距離相等。題型10：球的經(jīng)緯度、球面距離問題例19．（1）我國首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長度等于多少？（地球半徑大約為）（2）在半徑為的球面上有三點，求球心到經(jīng)過這三點的截面的距離。解：（1）如圖，是北緯上一點，是它的半徑，∴，設(shè)是北緯的緯線長，∵，∴答：北緯緯線長約等于．（2）解：設(shè)經(jīng)過三點的截面為⊙，設(shè)球心為，連結(jié)，則平面，∵，∴，所以，球心到截面距離為．例20．在北緯圈上有兩點，設(shè)該緯度圈上兩點的劣弧長為（為地球半徑），求兩點間的球面距離。解：設(shè)北緯圈的半徑為，則，設(shè)為北緯圈的圓心，∴，∴，∴，∴，∴中，所以，兩點的球面距離等于．點評：要求兩點的球面距離，必須先求出兩點的直線距離，再求出這兩點的球心角，進而求出這兩點的球面距離。五．思維總結(jié)1．正四面體的性質(zhì) 設(shè)正四面體的棱長為a，則這個正四面體的(1)全面積：S全=a2；(2)體積：V=a3；(3)對棱中點連線段的長：d=a；(4)內(nèi)切球半徑：r=a；(5)外接球半徑 R=a；(6)正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和為定值(等于正四面體的高)。2．直角四面體的性質(zhì) 體有下列性質(zhì)：如圖，在直角四面體AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90176。，OA=a,OB=b,OC=c。則：①不含直角的底面ABC是銳角三角形；②直角頂點O在底面上的射影H是△ABC的垂心；③體積 V=abc；④底面△ABC=；⑤S2△ABC=S△BHCS△ABC；⑥S2△BOC=S2△AOB+S2△AOC=S2△ABC⑦=++。 ⑧外切球半徑 R=；⑨內(nèi)切球半徑 r=3．圓錐軸截面兩腰的夾角叫圓錐的頂角.①如圖，圓錐的頂角為β，母線與下底面所成角為α，母線為l，高為h，底面半徑為r，則 sinα=cos = ，α+=90176。 cosα=sin = .②圓臺 如圖，圓臺母線與下底面所成角為α，母線為l，高為h，上、下底面半徑分別為r ′、r，則h=lsinα，rr′=lcosα。③球的截面用一個平面去截一個球，截面是圓面.(1)過球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做球的小圓；(2)球心與截面圓圓心的連線垂直于截面；(3)球心和截面距離d,球半徑R，截面半徑r有關(guān)系：r=.4．經(jīng)度、緯度：經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個大圓；緯線：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓；經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過這點的經(jīng)線與地軸確定的半平面與經(jīng)線及軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。緯度：某地的緯度就是指過這點的球半徑與赤道平面所成角的度數(shù)。5. 兩點的球面距離：球面上兩點之間的最短距離，就是經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點的球面距離兩點的球面距離公式：（其中R為球半徑，為A,B所對應(yīng)的球心角的弧度數(shù)）歡迎下
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