微積分起源與發(fā)展-資料下載頁
2025-06-29 13:20本頁面
【正文】 論的完成都要經(jīng)歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生。直到19世紀(jì)初，法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對微積分的理論進行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎(chǔ)。才使微積分進一步的發(fā)展開來。四、微積分的現(xiàn)代發(fā)展人類對自然的認(rèn)識永遠(yuǎn)不會止步，微積分這門學(xué)科在現(xiàn)代也一直在發(fā)展著。以下列舉了幾個例子，足以說明人類認(rèn)識微積分的水平在不斷深化。 在Riemann將Cauchy的積分含義擴展之后，Lebesgue又引進了測度的概念，進一步將Riemann積分的含義擴展。例如著名的Dirichilet函數(shù)在Riemann積分下不可積，而在Lebesgue積分下便可積。前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)大師所伯列夫為了確定偏微分方程解的存在性和唯一性，建立了廣義函數(shù)和廣義導(dǎo)數(shù)的概念。這一概念的引入不僅賦予微分方程的解以新的含義，更重要的是，它使得泛函分析等現(xiàn)在數(shù)學(xué)工具得以應(yīng)用到微分方程理論中，從而開辟了微分方程理論的新天地。我國的數(shù)學(xué)泰斗陳省身先生所研究的微分幾何領(lǐng)域，便是利用微積分的理論來研究幾何，這門學(xué)科對人類認(rèn)識時間和空間的性質(zhì)發(fā)揮著巨大的作用，并且這門學(xué)科至今仍然很活躍。前不久由俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼完成的龐加萊猜想便屬于這一領(lǐng)域。 在多元微積分學(xué)中，Newton—Leibniz公式的對照物是Green公式、Ostrogradsky—Gauss公式、以及經(jīng)典的Stokes公式。無論在觀念上或者在技術(shù)層次上，他們都是Newton—Leibniz公式的推廣。隨著數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要和解決問題的需要，僅僅考慮歐式空間中的微積分是不夠的。有必要把微積分的演出舞臺從歐式空間進一步拓展到一般的微分流形。在微分流形上，外微分式扮演著重要的角色。于是，外微分式的積分和微分流形上的Stokes公式產(chǎn)生了。而經(jīng)典的Green公式、Ostrogradsky—Gauss公式、以及Stokes公式也得到了統(tǒng)一。 微積分的發(fā)展歷史表明了人的認(rèn)識是從生動的直觀開始，進而達(dá)到抽象思維，也就是從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過程。人類對客觀世界的規(guī)律性的認(rèn)識具有相對性，受到時代的局限。隨著人類認(rèn)識的深入，認(rèn)識將一步一步地由低級到高級、由不全面到比較全面地發(fā)展。人類對自然的探索永遠(yuǎn)不會有終點。
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