【正文】 重要角色；原因之二是本書(shū)使用一種廣義熵——增值熵——作為分析工具。對(duì)上式取對(duì)數(shù)并令 m?∞ ，得 （）???WiNkiiiiigRqxPH101lo)(lg)(l我們稱(chēng) H 為增值熵，它是廣義熵的一種，其量綱和信息量綱相同。設(shè) log 以 2 為底，這時(shí) H 的單位為比特（bit），表示資金的翻番數(shù)。這一熵函數(shù)和 K. J. Arrow 曾使用的效用函數(shù)表面上有些相似 [17]，但實(shí)質(zhì)不同（參見(jiàn) 節(jié)）。和信息論中的廣義熵 [5]相比，增值熵少一負(fù)號(hào)。 幾何平均收益是 rg=Rg?1=2H?1。設(shè)幾何平均產(chǎn)出比為Rg 的證券組合在 T 年后增值為 M，即RgT=M （）則 （）Hglol?比較物理學(xué)公式 時(shí)間=距離/速度可見(jiàn) H 反映了資金的增值速度。 后面我們簡(jiǎn)記矢量 Pi=P（x i）43 / 256=P（x i1，x i2， ……，x iN），記概率分布為 P=（P i）=（P 1，P 2，……，P W），記投資比例矢量 q=（q k）=（q 0，q 1，……，q N）， 其它類(lèi)推。改變 q 可使 H 達(dá)最大，使 H 達(dá)最大的投資比例矢量 q=q*=（q k*）就是最優(yōu)的。投資比例矢量是有限制條件的。比如通常的股票投資有下面三個(gè)限制條件：條件 I： （）??Nkq01這意味著可用現(xiàn)金和各項(xiàng)投資資產(chǎn)之和等于自有資產(chǎn)的 1倍，是在任何情況下成立的條件；條件 II：q k?1，k =0，1，...，N ；并且 （）??kq1或 q0?0，這意味著不許透支或貸款；條件 III：q k?0，k =1，2，...，N；這意味著不許賣(mài)空（賣(mài)空比如：期貨做空或股票先融券賣(mài)空，等低價(jià)買(mǎi)回平倉(cāng)）。在給定 q 的限制條件下求使增值熵 （）???iNkiiRqxPH0log)(達(dá)極大的 q，這是一個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題，可用已有方法解決。 這一問(wèn)題只有在某些簡(jiǎn)單情況下才有代數(shù)解。在一般情況下需要通過(guò)計(jì)算機(jī)編程得到數(shù)值解。 單硬幣打賭下注優(yōu)化下面我們通過(guò)最簡(jiǎn)單的投資模型——單硬幣打賭模型——討論最優(yōu)投資比例的代數(shù)解。定義 我們稱(chēng)前面的投資模型是單硬幣打賭模型，如果1) 投資項(xiàng)目或證券種數(shù) N=1；2) 可能的贏虧種數(shù) n1=2（贏虧概率未必相等）；3) 要確定的投資比例有兩個(gè)：現(xiàn)金（或國(guó)債）和非現(xiàn)金比例，k=0，1。單硬幣打賭的優(yōu)化問(wèn)題是最簡(jiǎn)單的，也是最有代表性的投資比例優(yōu)化問(wèn)題， 節(jié)所述的擲硬幣打賭問(wèn)題是它的一個(gè)特例（贏虧概率相等）。對(duì)于單硬幣打賭問(wèn)題，增值熵是45 / 256 （）)log()log(1120201?????qRPqRPrrH其中 P1 和 P2 是贏虧的概率，R 1 和 R2 是相應(yīng)的兩種產(chǎn)出比；r 1 和 r2 是相應(yīng)的兩種收益（率）；R 0=1+r0，r 0 是存款利率或市場(chǎng)利率；q0=1?q； ?1=R1?R0=r1?r0，? 2=R2?R0=r2?r0，? 1 和? 2 是扣除銀行利率或市場(chǎng)利率的收益，簡(jiǎn)稱(chēng)超常收益（excess return）。如果? 2?10（只贏不虧），最優(yōu)比例顯然是 1。如果?1?20（只虧不贏），最優(yōu)比例顯然是 0（不許賣(mài)空時(shí)）。為了討論方便，后面我們只討論 ?10?2 的情況。下面我們用求極值方法求最優(yōu)比例。令 dH/dq=0，得 （） 02022??qRP整理得最優(yōu)投資比例公式 （）021*q???注意上式中的分子正好是期望超常收益。在不許透支也不許賣(mài)空的情況下（條件 I，II ，III 成立），最優(yōu)投資比例是，1 q’0 （）021Rq0Pq?????????????,*令 q39。=1 得滿(mǎn)倉(cāng)條件 （）012/RP????令期望收益等于 R0，于是得到空倉(cāng)（投資 0%）條件 （）22/)(?圖 直觀地顯示了 q*和（r 1，r 2）的關(guān)系。注意r2/r1 不變的點(diǎn)， q*隨兩者增大而減小，這說(shuō)明期望收益不變時(shí)，收益波動(dòng)越大，優(yōu)化的投資比例應(yīng)越小。 圖 單硬幣打賭優(yōu)化投資比例 ——r1r2 平面圖上的等 q*線（不可透支和賣(mài)空， R0=；左邊：P 1=P2=；右邊：P 1=， P2=）47 / 256對(duì)于 節(jié)的打賭問(wèn)題，將，P 1=P2=1/2，? 1=1，? 2=2，R 0=1 代入（）得 q*=，這就是說(shuō)，最優(yōu)下注比例是 25%。由（）可得出一個(gè)非常有意義的結(jié)論。令? 1 =1（虧損 100%），R 0=1，于是有（）121221/* PPPq ?????????這就是說(shuō)：只要虧光資金的概率是 P1，則不管可能的盈利幅度? 2 有多大，都不要投入比例超過(guò) 1?P1 的資金。比如說(shuō)，只要虧光的概率不是 0，就一定不要滿(mǎn)倉(cāng)；只要虧光的概率達(dá) ，就一定不要超過(guò)半倉(cāng)——哪怕有 10 倍20 倍利潤(rùn)的可能。此結(jié)論對(duì)期貨、期權(quán)、配股權(quán)證、放貸等投資特別有意義。許多人在期貨、期權(quán)、外匯等交易中損失巨大，或者玩不了多久就賠光出場(chǎng)，原因就在于他們受到可能的高額利潤(rùn)誘惑，持倉(cāng)比例往往過(guò)大。 允許透支和賣(mài)空時(shí)的增值熵 及投資比例優(yōu)化公式（）假設(shè)條件 I，II，III 同時(shí)成立。如果條件 II 不成立，則意味可以從銀行或證券公司透支或貸款去投資（比如買(mǎi)股票）。這時(shí)增值熵變?yōu)???? ?????????????01),log()log( ),l()l( 1ogog202101 202101 qRPqRPqqqH（）其中 R039。=（1+ r039。） （r 039。r0 是貸款利率）；q0=max（0，1?q），q 039。=max（0，q?1） 是貸款比例；?139。=R1?R039。=r1?r039。，? 239。同理。最優(yōu)投資比例是 （）????????????? ???? 0,1,*21021qRPqM其中M=可用資金相對(duì)自有資金的倍數(shù)=（1+ 可透支或貸款的倍數(shù)）如果存款利率和貸款利率相同，則有 R0=R039。，上式簡(jiǎn)化為 （） ??????????????0,*21qMPq49 / 256如果限制條件 III 也不存在，即允許qk0，k=1 ，2，...，N；則意味著可以賣(mài)空。什么是賣(mài)空? 在股票和國(guó)債市場(chǎng)上，通常我們只能先買(mǎi)后賣(mài)。如果可以借別人的股票或國(guó)債先賣(mài)出，然后買(mǎi)回來(lái)補(bǔ)還券主（期望高價(jià)賣(mài)低價(jià)買(mǎi)），則說(shuō)可以融券賣(mài)空。在期貨市場(chǎng)上，賣(mài)出自己未必?fù)碛械奈磥?lái)的商品，叫拋空，也是賣(mài)空的一種。下面我們以可融券股票買(mǎi)賣(mài)為例說(shuō)明投資比例優(yōu)化。期貨的投資比例優(yōu)化還涉及保證金比例問(wèn)題。方法類(lèi)似。假設(shè)融券用同樣價(jià)值的資金抵押，這時(shí)剩余資金比例是 q0=max（0，1?| q|），貸款比例是 q039。=max（0，|q|?1）；（）變?yōu)椋海???? ???????????????????????????????1),log()log( 0,ll )()( 1,1|(log)|1(0||l 0),log()(1og202101 2020220221201 qRPqRPqrqPrqrPrH）其中? ?1= r1?（ ?r0）=r 1+r0，意味 r1 在負(fù)方向超出r 0 的部分，? ?2 同理；?39。 ?1 = r1+r39。0，?39。 ?2 同理。允許透支和賣(mài)空時(shí)的最優(yōu)投資比例公式是： （）????????????????? ???????????MqqRPrEqqMRPM, 1,0,01,*210210上式劃分的各個(gè)區(qū)域（包括空倉(cāng)區(qū)、拋空區(qū)、透支區(qū)、透支滿(mǎn)倉(cāng)區(qū)等）及等 q*線如圖 所示。圖 單硬幣打賭下注比例優(yōu)化（可透支和賣(mài)空，P 1=P2=；r 0=，r 039。=；M=2）51 / 256對(duì)于一般的投資組合（多證券或項(xiàng)目），在允許貸款和賣(mài)空時(shí)，增值熵由（）變?yōu)? （）??????????? ??????????1,)log(0,1,)log(,100qRPqRPHiNkiki iiNkii ik其中 ??Nkq1（）其它變量參考（）類(lèi)推。而最優(yōu)投資比例需用電腦搜索投資矢量空間才能得到。 考慮轉(zhuǎn)移成本的增量?jī)?yōu)化公式轉(zhuǎn)移成本或者說(shuō)交易手續(xù)費(fèi)（包括證券公司和交易所收取的交易費(fèi)用和稅金等）對(duì)交易的影響是顯然的，如果轉(zhuǎn)移證券增加的收益抵不上轉(zhuǎn)移成本，轉(zhuǎn)移就不該發(fā)生。前面的優(yōu)化公式中沒(méi)有考慮交易手續(xù)費(fèi)，從而也沒(méi)有考慮如何優(yōu)化轉(zhuǎn)移量。下面我們以單硬幣打賭模型（一種證券，兩種可能收益）為例說(shuō)明如何根據(jù)手續(xù)費(fèi)優(yōu)化投資比例增減量。假設(shè)1?q??1。設(shè)當(dāng)前投資比例為 q，現(xiàn)金或國(guó)債比例為 q0=1?q ，投資比例增量為? q=q?q（因?yàn)?1?q??1，所以 1?q? ?q ??1?q），交易手續(xù)費(fèi)是交易額的 d 倍（比如對(duì)于深滬股市，d=），每一元在交易后變?yōu)?d39。=1?d 元（增加頭寸用? ，減少頭寸用+），資金? q 在交易后變?yōu)??qd’元，于是有增值熵（）)](log[( )l 02q202 111 2q0q0RdRPH????????? ??令R01=q0R0+qR1，R 02=q0R0+qR2，? 1=d39。R1?R0， ?2=d39。R2?R0， 于是得到 )log()log( 21????qPPH（）它和前面的式（）非常相似。令 dH/d?q=0，得到優(yōu)化比例增量公式53 / 256 （）210101*?????RPq當(dāng) q=0 從而 q0=1 時(shí)，上式就變?yōu)榭紤]手續(xù)費(fèi)的投資比例優(yōu)化公式。手續(xù)費(fèi)比例 d 增大對(duì)投資增量的影響如圖 所示。d 越大，持倉(cāng)不動(dòng)的區(qū)域，即 q*=q的白帶區(qū)越寬。意味手續(xù)費(fèi)比率提高時(shí)，優(yōu)化的持倉(cāng)增減量相應(yīng)減少。圖 還表明，手續(xù)費(fèi)對(duì)盈虧幅度大的交易影響小，而對(duì)盈虧幅度小的交易影響大。由此可以理解為什么期貨交易者能夠容忍較高的手續(xù)費(fèi)，而國(guó)債交易者不能（期貨交易因手續(xù)費(fèi)虧損主要是由于交易太頻繁）。圖 手續(xù)費(fèi)對(duì)投資增量的影響（可賣(mài)空不可透支， q=， P1=P2=， R0=1， d=）結(jié)合本節(jié)和上一節(jié)公式，可以把增量?jī)?yōu)化方法推廣到允許透支的情況和多證券情況。到此，單硬幣投資模型的頭寸優(yōu)化問(wèn)題已經(jīng)全部解決了。 多硬幣打賭下注優(yōu)化定義 我們稱(chēng) 節(jié)的投資模型是多硬幣打賭模型，如果1）投資證券或項(xiàng)目種數(shù)為 N?2；2）對(duì)于每種投資，可能的贏虧種數(shù) ni =2（ i=1，2，...，N），不同投資贏（或虧） 的概率相同；3）要確定的投資比例有 N+1 個(gè)，即k=0， 1，...，N；4）不同投資之間贏虧相互無(wú)關(guān)，即P（x i， xj）=P （x i）P （x j），i，j =1，2，...， N，i ? j為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，我們僅討論不許透支和賣(mài)空，投資比例相等（即 q1=q2=...=qN=q/N） ，r 0=0 從而? 1=r1，? 2=r2 時(shí)的情況。設(shè)每種投資虧和贏的概率是 P 和 Q=1?P。當(dāng) N=2 時(shí)，分散投資的可能贏虧有 4 種：（虧，虧），（虧，贏），（贏，虧），（贏，贏）；因中間兩種收益相同可以合并，所以可能的收益的概率預(yù)測(cè)是55 / 256Fr={1/4|r1q，2/4|（r 1+r2）q/2，1/4| r2q} （）增值熵是H2=P 2 log（1+r 1q） +2PQ log[1+（r 1+r2）q/R]+Q2log（1+r 2q） （）當(dāng) N2 時(shí)，幾種收益及其概率按二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律變化，即H3=P 3 log（1+ r1q）+3P 2Qlog[1+（2r 1+r2）q/3] +PQ 2log[1+（r 1+2r2）q/3]+Q 3log（1+r 2q） （） …………HN=P N log（1+r 1q）+NP N?1Qlog[1+（（N ?1）r 1+r2） q/N]+...+NPQN?1log[1+（ r1+（N ?1）r 2）q/N ] +Q Nlog （1+r 2q） （）由上面公式，可以通過(guò)計(jì)算機(jī)編程求出圖 （見(jiàn) 節(jié)）中的一些優(yōu)化結(jié)果。可以證明，在各證券收益互不相干且收益的概率預(yù)測(cè)相同的情況下，各證券投資比例相同時(shí)組合最優(yōu)；并且證券數(shù)目越多，幾何平均收益越大。隨著 N 增大，幾何平均收益有沒(méi)有極限，極限是不是就是它的算術(shù)平均收益? 下面我們將證明，結(jié)論果然如此?？梢哉f(shuō)，投資組合的目的是使幾何平均收益盡可能地接近算術(shù)平均收益。 分散投資極限定理對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣的讀者可以忽略本節(jié)內(nèi)容。 定理 （分散投資極限定理）：有 N 個(gè)相互獨(dú)立的證券，未來(lái)收益皆有兩種可能，分別為 r1 和 r2，概率分別為 P 和 Q=1?P，算術(shù)平均收益皆為 E=Pr1+Qr2。 則增值熵 HN 在 qk=1/N，k=1，2， ……，N 且 N→∞時(shí)有極限值 （）aRlog)1l(lim????證 根據(jù)二項(xiàng)式定理，增值熵 ?????Ns SNNSrQPSH0 121]/)(log[)!(（）根據(jù)中心極限定理 （[27]，91） ，當(dāng)