正態(tài)分布及其經(jīng)典習(xí)題和答案匯總-資料下載頁(yè)
2025-06-26 07:21本頁(yè)面
【正文】 的應(yīng)用【例3】?2011年中國(guó)汽車(chē)銷(xiāo)售量達(dá)到1 700萬(wàn)輛，汽車(chē)耗油量對(duì)汽車(chē)的銷(xiāo)售有著非常重要的影響，各個(gè)汽車(chē)制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車(chē)制造公司為調(diào)查某種型號(hào)的汽車(chē)的耗油情況，共抽查了1 200名車(chē)主，并且汽車(chē)的耗油量ξ服從正態(tài)分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]，那么耗油量大于9升的汽車(chē)大約有________輛．解 由題意可知ξ～N(8，σ2)，故正態(tài)分布曲線(xiàn)以μ＝8為對(duì)稱(chēng)軸，又因?yàn)镻(7≤ξ≤9)＝，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝，所以P(8≤ξ≤9)＝，而P(ξ≥8)＝，所以P(ξ＞9)＝，故耗油量大于9升的汽車(chē)大約有1 200＝180輛．【訓(xùn)練3】 工廠(chǎng)制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N，問(wèn)在一次正常的試驗(yàn)中，取1 000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間(3,5]這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？解 ∵X～N，∴μ＝4，σ＝.∴不屬于區(qū)間(3,5]的概率為P(X≤3)＋P(X＞5)＝1－P(3＜X≤5)＝1－P(4－1＜X≤4＋1)＝1－P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝1－ 4＝ 6≈，∴1 000＝3(個(gè))，即不屬于區(qū)間(3,5]這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè)．閱卷報(bào)告19——正態(tài)分布中概率計(jì)算錯(cuò)誤【問(wèn)題診斷】 正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，這個(gè)考點(diǎn)雖然不是高考的重點(diǎn)，但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計(jì)算是考查的一個(gè)熱點(diǎn)，考生往往不注意對(duì)這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無(wú)從下手或計(jì)算錯(cuò)誤．【防范措施】 對(duì)正態(tài)分布N(μ，σ2)中兩個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個(gè)數(shù)值應(yīng)該為σ2而不是σ，同時(shí)，記住正態(tài)密度曲線(xiàn)的六條性質(zhì)．【示例】? 已知某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布N(116，64)，則成績(jī)?cè)?40分以上的考生所占的百分比為A．% B．% C．% D．%錯(cuò)因 (1)不能正確得出該正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)μ，σ導(dǎo)致計(jì)算無(wú)從下手．(2)對(duì)正態(tài)分布中隨機(jī)變量在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率數(shù)值記憶不準(zhǔn)，導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)．實(shí)錄 同學(xué)甲 A 同學(xué)乙 B 同學(xué)丙 C正解 依題意，μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140，而服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在(μ－3σ，μ＋3σ)，所以成績(jī)?cè)趨^(qū)間(92,140)%，從而成績(jī)?cè)?40分以上的考生所占的百分比為＝%.故選D.【試一試】 在正態(tài)分布N中，數(shù)值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)內(nèi)的概率為( )． A． B． C． D． 6解析 ∵μ＝0，σ＝，∴P(x＜－1或x＞1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)＝1－ 4＝ 6. 答案 D 7
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