曲線積分與曲面積分習(xí)題及答案-資料下載頁(yè)
2025-06-25 15:04本頁(yè)面
【正文】 (另解：可求得，由對(duì)稱性可得原式也可用高斯公式)23．解：：，由輪換對(duì)稱，只要計(jì)算積分再利用廣義極坐標(biāo)可得于是原式。24．解：證，分別為錐面的底面和側(cè)面而，為錐面外法線的方向余弦：，則 又對(duì)上的任一點(diǎn)有故在各坐標(biāo)平面上射影分別為，于是 故原式25．證：由格林第一公式得同理兩式相減得：。26．解：設(shè)，其中為從到的直線段，則為封閉曲線，由斯托克斯公式得，其中是以為邊界且與構(gòu)成右手系的任曲面?！? 27．證： (C)1．解：，于是當(dāng)時(shí)，有當(dāng)時(shí)，有故當(dāng)時(shí)，有2．解：，于是 3．解： 質(zhì)量為 于是垂心坐標(biāo)為 4．解：∵ ， ∴ 但，又 ∴原式5．解：，故當(dāng)時(shí)，因此只要路徑不過軸，點(diǎn)到點(diǎn)的曲線積分與路徑無關(guān)，取路徑，有原式 6．解：時(shí)，有， 改右半平面，由于是單連通區(qū)域，且在其上，故在上的是某函數(shù)的全微分，且可取 于是原式7．解：， ，即解此一階線性微分方程得 由得，故所求函數(shù)為8．解：所求的功， ， 當(dāng)時(shí)，此積分與路徑無關(guān)故 9．解：由格林公式各1）當(dāng)（舍去），時(shí)，2）由，得（舍去），故當(dāng)時(shí)，取最大值，10．解：補(bǔ)上：，上側(cè)由高斯公式 11．解：由對(duì)稱性可知 原式，： 而 故原式12．解：?。?，方向與軸同上，則 13．解：利用格林公式 原式14．解：，， 當(dāng)時(shí)，有，積分與路徑無關(guān) 15．解： 16．解：， ， 令，得 比較系數(shù)得， ∴ ∴ 故的形式17．解：，其中，分別是在，上的曲面塊。 ∴ 18．證：設(shè)，且，具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)∵∴ 35
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