拉格朗日中值定理證明中輔助函數(shù)的構(gòu)造及應(yīng)用-資料下載頁(yè)
2025-06-24 22:59本頁(yè)面
【正文】 單調(diào)性等.例4 證明如果在上可導(dǎo)，且，有, 其中為常數(shù)，則在上一致連續(xù).證明： ， 在以為端點(diǎn)的區(qū)間上，有 介于之間 在利用已知條件，有 即 在 上滿足Lipschitz條件， 則在上一致連續(xù)。例5 試證：若函數(shù)在 上可導(dǎo)，單調(diào)遞增，且，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.證明：對(duì)任意的，且 ，則在和上均滿足 拉格朗日中值定理，于是分別存在， 使 由于 單調(diào)遞增，且 ，所以 即： ，通分移項(xiàng)整理得 即函數(shù)在上單調(diào)遞增.拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，羅爾定理是它的特例，柯西中值定理的它的推廣，在求數(shù)列極限問(wèn)題時(shí), 主要用到了如輔助函數(shù)法、遞推法和累加法, ： 一要仔細(xì)觀察, 適當(dāng)變換待證求的式子。 二要認(rèn)真分析, 巧妙構(gòu)造輔助函數(shù), 抓住這兩點(diǎn)一般會(huì)簡(jiǎn)單解決問(wèn)題.例6 設(shè)函數(shù)滿足：（1）在 的某鄰域內(nèi)連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)；（3）.則在可導(dǎo)，且證明：先對(duì)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有 ， 從而有 由 ， 故 同理可證 從而有 此結(jié)論說(shuō)明了，若有限導(dǎo)數(shù)在某區(qū)間存在，則在區(qū)間的每一點(diǎn)處，它或是連續(xù)，或是有第二類間斷點(diǎn).例7 已知 求 . 解：設(shè)， 對(duì)在 上函數(shù) 符合拉格朗日中值定理的條件， 故可以應(yīng)用得： ， 故 當(dāng) 時(shí)，共有不等式，將上面這不等式相加得： ,即 從而 由極限存在準(zhǔn)則知 拉格朗日中值定理在方程根的存在性方面的應(yīng)用例8 設(shè)在可導(dǎo)，且對(duì)任何，都有 ，又，試證明在內(nèi)，方程有唯一實(shí)根. 證明：（存在性）令在 利用零點(diǎn)定理易證. （唯一性）反證法，假設(shè)有兩個(gè)實(shí)根，使得 不妨設(shè) 在 上對(duì)應(yīng)用拉格朗日中值定理，有 這與矛盾， 故結(jié)論得證. 參考文獻(xiàn)[1] [J].長(zhǎng)江工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008,12.[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.[3] 裴禮文. 數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M]. 北京: 高等教育出版社, l993.[4] 韓應(yīng)華，姚貴平等. 微分中值定理的應(yīng)用及推廣[J].內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2009,9[5] [J]. 紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào)，2009,12[6] [J].廣西民族師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011,6[7] [J].忻州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012,4致謝 歷時(shí)將近兩個(gè)月的時(shí)間終于將這篇論文寫(xiě)完，在論文的寫(xiě)作過(guò)程中遇到了無(wú)數(shù)的困難和障礙，都在同學(xué)和老師的幫助下度過(guò)了。尤其要強(qiáng)烈感謝我的論文指導(dǎo)老師李明圖，以及給我?guī)н^(guò)課的諸位老師，他們對(duì)我進(jìn)行了無(wú)私的指導(dǎo)和幫助，不厭其煩的幫助進(jìn)行論文的修改和改進(jìn)。另外，在校圖書(shū)館查找資料的時(shí)候，圖書(shū)館的老師也給我提供了很多方面的支持與幫助。在此向幫助和指導(dǎo)過(guò)我的各位老師表示最衷心的感謝
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