【正文】 。倘若與相互獨(dú)立，令的分布函數(shù)為，則，故或，此與服從柯西分布相矛盾，故與互不獨(dú)立。 判別下列函數(shù)是否為特征函數(shù)（說明理由）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）不是，因?yàn)椤? （2）不是，因?yàn)楫?dāng)時(shí)。 （3）不是，因?yàn)椴怀闪? （4）不是，因?yàn)椤? （5）是的，拉普拉斯分布的特征函數(shù)為，所以也是特征函數(shù)。第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 設(shè)為退化分布：討論下列分布函數(shù)列的極限是否仍是分布函數(shù)？解：（1）（2）不是；（3）是。 設(shè)分布函數(shù)如下定義：?jiǎn)柺欠植己瘮?shù)嗎？解：不是。，且為連續(xù)函數(shù)，則在上一致收斂于。證：對(duì)任意的，取充分大，使有對(duì)上述取定的，因?yàn)樵谏弦恢逻B續(xù)，故可取它的分點(diǎn)：，使有，再令，則有 （1）這時(shí)存在，使得當(dāng)時(shí)有 （2）成立，對(duì)任意的，必存在某個(gè)，使得，由（2）知當(dāng)時(shí)有 （3） （4）由（1），（3），（4）可得，即有成立，結(jié)論得證。 設(shè)隨機(jī)變量序列同時(shí)依概率收斂于隨機(jī)變量與，證明這時(shí)必有。證：對(duì)任意的有，故即對(duì)任意的有成立，于是有從而成立，結(jié)論得證。 設(shè)隨機(jī)變量序列，分別依概率收斂于隨機(jī)變量與，證明：（1）；（2）。證：（1）因?yàn)楣始闯闪?。?）先證明這時(shí)必有。對(duì)任給的取足夠大，使有成立，對(duì)取定的，存在，當(dāng)時(shí)有成立這時(shí)有 從而有由的任意性知，同理可證，由前述（1）有故，結(jié)論成立。 設(shè)隨機(jī)變量序列，是一個(gè)常數(shù)，且，證明。證：不妨設(shè)對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)有，因而。于是有 。結(jié)論成立。 證明隨機(jī)變量序列依概率收斂于隨機(jī)變量的充要條件為：證：充分性，令，則，故是的單調(diào)上升函數(shù)，因而，于是有 對(duì)任意的成立，充分性得證。必要性，對(duì)任給的，令，因?yàn)?，故存在充分大的使得?dāng)時(shí)有，于是有 ，由的任意性知，結(jié)論為真。 設(shè)隨機(jī)變量按分布收斂于隨機(jī)變量，又?jǐn)?shù)列，證明也按分布收斂于。證：先證明按分布收斂于。時(shí)為顯然，不妨設(shè)（時(shí)的修改為顯然），若，，的分布函數(shù)分別記作，與，則=，當(dāng)是的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，是的連續(xù)點(diǎn)，于是有成立，結(jié)論為真。，(1)知，結(jié)論得證。，隨機(jī)變量序列依概率收斂于常數(shù)，證明按分布收斂于。證：記的分布函數(shù)分別為，則的分布函數(shù)為，設(shè)是的連續(xù)點(diǎn)，則對(duì)任給的，存在，使當(dāng)時(shí)有 （1）現(xiàn)任取，使得都是的連續(xù)點(diǎn)，這時(shí)存在，當(dāng)時(shí)有 （2） （3）對(duì)取定的，存在，當(dāng)時(shí)有 （4）于是當(dāng)時(shí)，由（1），（2），（4）式有又因?yàn)橛谑怯桑?），（3），（4）式有 （6）由（5），（6）兩式可得由的任意性即知按分布收斂于，結(jié)論得證。，隨機(jī)變量序列依概率收斂于，證明.證：記的分布函數(shù)分別為，對(duì)任給的，取足夠大，使是的連續(xù)點(diǎn)且因?yàn)?，故存在，?dāng)時(shí)有令，因?yàn)?，故存在，?dāng)時(shí)有而其中，當(dāng)時(shí)有因而，由的任意性知，結(jié)論為真。 設(shè)隨機(jī)變量服從柯西分布，其密度函數(shù)為證明。證：對(duì)任意的，有故。 設(shè)為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為其中為常數(shù)，令，證明。證：對(duì)任意的，為顯然，這時(shí)有對(duì)任意的，有故成立，結(jié)論得證。 設(shè)為一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為令，證明。證：設(shè)的分布函數(shù)為，有這時(shí)有對(duì)任意的，有故成立，結(jié)論得證。，都服從上的均勻分布，若，證明。證：這時(shí)也是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且由辛欽大數(shù)定律知服從大數(shù)定理，即有，令，則是直線上的連續(xù)函數(shù)，結(jié)論成立。，每個(gè)隨機(jī)變量的期望為，且方差存在，證明。證：已知，記，令，則對(duì)任給的，由契貝曉夫不等式有故，結(jié)論得證。，且存在，數(shù)學(xué)期望為零，證明。證：這時(shí)仍獨(dú)立同分布，且，由辛欽大數(shù)定律知結(jié)論成立。 設(shè)隨機(jī)變量序列按分布收斂于隨機(jī)變量，又隨機(jī)變量序列依概率收斂于常數(shù)，則按分布收斂于。證：，而按分布收斂于（），按分布收斂于，結(jié)論成立。，證明的分布函數(shù)弱收斂于分布。證：這時(shí)也為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且，由辛欽大數(shù)定律知，又服從分布，當(dāng)然弱收斂于分布，結(jié)論得證。 如果隨機(jī)變量序列，當(dāng)時(shí)有，證明服從大數(shù)定律（馬爾柯夫大數(shù)定律）證：由契貝曉夫不等式即得。 在貝努里試驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的概率為，令證明服從大數(shù)定律。證：為同分布隨機(jī)變量序列，且，因而，又當(dāng)時(shí)，與獨(dú)立，結(jié)論得證。，方差存在，又為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)，令，則服從大數(shù)定律。證：不妨設(shè)。否則令，并討論即可。記，又。因?yàn)椋视?，結(jié)論得證。，共同分布為試問是否服從大數(shù)定律？答：因?yàn)榇嬖冢尚翚J大數(shù)定律知服從大數(shù)定律。，共同分布為其中，問是否服從大數(shù)定律？答：因?yàn)榇嬖?，由辛欽大數(shù)定律知服從大數(shù)定律。 如果要估計(jì)拋擲一枚圖釘時(shí)尖頭朝上的概率，為了有95%以上的把握保證所觀察到的頻率與概率的差小于，問至少應(yīng)該做多少次試驗(yàn)？解：令據(jù)題意選取試驗(yàn)次數(shù)應(yīng)滿足，因?yàn)楸容^大，由中心極限定理有故應(yīng)取，即，但圖釘?shù)撞恐?，尖頭輕，由直觀判斷有，因而，故可取。 一本書共有一百萬個(gè)印刷符號(hào)，，求在校對(duì)后錯(cuò)誤不多于15個(gè)的概率。解：令因?yàn)榕虐媾c校對(duì)是兩個(gè)獨(dú)立的工序，因而是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，令，其中，由中心極限定理有其中，查分布表即可得，即在校對(duì)后錯(cuò)誤不多于15個(gè)的概率。 在一家保險(xiǎn)公司里有10000個(gè)人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年里一個(gè)人死亡的概率為0。006，死亡時(shí)家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元，問：（1）保險(xiǎn)公司虧本的概率多大？（2）保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于40000元，60000元，80000元的概率各為多大？解：保險(xiǎn)公司一年的總收入為120000元，這時(shí)（1） 若一年中死亡人數(shù)，則公司虧本；（2） 若一年中死亡人數(shù)，則利潤(rùn)中死亡人數(shù)元；若一年中死亡人數(shù)，則利潤(rùn)中死亡人數(shù)元；若一年中死亡人數(shù)，則利潤(rùn)中死亡人數(shù)元；令則，記已足夠大，于是由中心極限定理可得欲求事件的概率為（1）同理可求得（2） 有一批種子，其中良種占，從中任取6000粒，？解：令則，記，其中，據(jù)題意即要求使?jié)M足。令，因?yàn)楹艽?，由中心極限定理有由分布表知當(dāng)時(shí)即能滿足上述不等式，于是知。 ，任取10000件，問不合格品不多于70件的概率等于多少？解：令則，記，其中，記，由中心極限定理有。 ，？解：令則，記，其中尚待確定，它應(yīng)滿足，由中心極限定理有查分布表可取，由此求得。 用特征函數(shù)的方法證明“二項(xiàng)分布收斂于普哇松分布”的普哇松定理。證：設(shè)獨(dú)立同二項(xiàng)分布，即的特征函數(shù)為，記的特征函數(shù)記作，因?yàn)?，故，于是有而是參?shù)為的普哇松分布的特征函數(shù)，由特征函數(shù)的逆極限定理即知定理成立，證畢。 設(shè)隨機(jī)變量服從分布，其分布密度為證：當(dāng)時(shí)，的分布函數(shù)弱收斂于分布。證：的特征函數(shù)為，易知的特征函數(shù)為而因而有故，所以相應(yīng)的分布函數(shù)弱收斂于分布，命題得證。，且服從上的均勻分布，證明對(duì)成立中心極限定理。證：易知，于是故，對(duì)任意的，存在，使當(dāng)時(shí)有，因而，從而當(dāng)，若，由此知即林德貝爾格條件滿足，所以對(duì)成立中心極限定理，結(jié)論得證。 設(shè)皆為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且獨(dú)立，其中，證明：的分布函數(shù)弱收斂于正態(tài)分布。證：這時(shí)仍是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，易知有由林德貝爾格勒維中心極限定理知：的分布函數(shù)弱收斂于正態(tài)分布，結(jié)論得證。 利用中心極限定理證明：證：設(shè)是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，共同分布為的Poisson分布，故，由林德貝爾格勒維中心極限定理知由Poisson分布的可加性知服從參數(shù)為的Poisson分布，因而，但，所以成立，結(jié)論得證。