【正文】 . 即 對(duì)于二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是：對(duì)一切的有 這里為的概率密度函數(shù)，和分別為關(guān)于和的邊緣概率密度前面已討論過(guò)聯(lián)合密度與邊緣密度的關(guān)系：聯(lián)合密度決定邊緣密度，反過(guò)來(lái)，知道邊緣密度一般來(lái)說(shuō)并不能唯一確定聯(lián)合密度. 而當(dāng)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立時(shí)，邊緣密度和的乘積就是聯(lián)合密度，即當(dāng)與相互獨(dú)立時(shí)，可由邊緣密度確定聯(lián)合密度. 如果二維隨機(jī)變量的概率分布用下列表格給出 YX12301那么當(dāng)取什么值時(shí)，與才能相互獨(dú)立？解：先計(jì)算X和Y的邊緣分布若與相互獨(dú)立， 則對(duì)于所有的，都有因此： （1）= （2） 由（1）、（2）兩式可解出：. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且都服從參數(shù)=1的指數(shù)分布，求X與Y的聯(lián)合概率密度，并計(jì)算. 解：據(jù)題意，X的密度函數(shù)為 Y的密度函數(shù)為因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，所以X與Y的聯(lián)合密度為： 于是： . 167。 條件分布我們由條件概率很自然地引出條件概率分布的概念．設(shè)(X，Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為(X，Y)關(guān)于X和關(guān)于y的邊緣分布律分別為設(shè)0，我們來(lái)考慮在事件{Y= }已發(fā)生的條件下事件{ X=，）發(fā)生的概率，也就是來(lái)求事件 ， 的概率，由條件概率公式，可得 易知上述條件概率具有分布律的性質(zhì)： 于是我們引入以下的定義． 定義 設(shè)(X．Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的j，若P{}0，則稱(chēng) ()為在Y=y，條件下隨機(jī)變量X的條件分布律． 同樣，對(duì)于固定的i．若P{X= }0．則稱(chēng) ()為在X =x，條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律．現(xiàn)設(shè)(X，Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，這時(shí)由于對(duì)任意x，y有P{X=x}=0，P{Y=y}=0，因此就不能直接用條件概率公式引入168。條件分布函數(shù)”了．設(shè)(X．Y)的概率密度為f (x，y)，(X．Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為．給定y，對(duì)于任意固定的0，對(duì)于任意x，考慮條件概率 ，設(shè)0，則有= =在某些條件下，當(dāng)很小時(shí)，上式右端分子、分母分別近似于，于是當(dāng)很小時(shí)，有 P{X≤x︱yY≤y+）≈= ()與一維隨機(jī)變量概率密度的定義式第二章()式比較．我們給出以下的定義．定義 設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為f(x，y)，(X，Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為．若對(duì)于固定的y, 0，則稱(chēng) 為在Y=y的條件下X的條件概率密度， () 條件概率密度滿(mǎn)足條件： ≥0。 ==稱(chēng)=為在Y=y的條件下X的條件分布函數(shù)，記為P {X≤x︱Y=y}或，即 = P {X≤x︱Y=y}= （） 類(lèi)似地，可以定義 和. 由()知道，當(dāng)很小時(shí)，有 P{X≤x︱yY≤y+}≈=,上式說(shuō)明了條件密度和條件分布函數(shù)的含義．例 設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A．若二維隨機(jī)變量(X，Y)具有概率密度 則稱(chēng)(X，Y)在G上服從均勻分布，現(xiàn)設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)在圓域≤1上服從均勻分布，求條件概率密度． 解 由假設(shè)隨機(jī)變量(X．Y)具有概率密度且有邊緣概率密度 于是當(dāng) lyl時(shí)有 = 例 設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0，1)上隨機(jī)地取值，當(dāng)觀察到X=x (0x1)時(shí)，數(shù)Y在區(qū)間(x，1)上隨機(jī)地取值．求Y的概率密度． 解 按題意X具有概率密度 對(duì)于任意給定的值x(0x1)，在X=x的條件下Y的條件概率密度為 由()式得X和Y的聯(lián)合概率密度為 于是得關(guān)于Y的邊緣概率密度為 167。 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)是一個(gè)二元函數(shù)，是二維隨機(jī)變量， 則也是一個(gè)隨機(jī)變量，我們稱(chēng)之為二維隨機(jī)變量函數(shù). 下面我們就來(lái)討論二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布情況。．二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布顯然若是二維離散隨機(jī)變量，那么二維隨機(jī)變量函數(shù)也是離散型隨機(jī)變量. 如，設(shè)只取有限對(duì)實(shí)數(shù)組，那么二維隨機(jī)變量函數(shù)也就只取，顯然有， 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律如下： YX013120求的概率分布. 解：由的分布可得p0(1，0)（1，1）（1，3）（2，0）（2，1）（2，3）102235137204去掉概率為0的值，并將相同函數(shù)值對(duì)應(yīng)的概率求和，從而得到：（1）的分布為1023p（2）的分布為73102p一般地，如果的概率分布為，記為的所有可能的取值，則Z的概率分布為：. . 二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布.設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為，若其二維隨機(jī)變量函數(shù)仍然是連續(xù)型隨機(jī)變量，則可類(lèi)似于求一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布來(lái)求的概率分布，其方法是： （1）先求分布函數(shù) 其中； （2）根據(jù)求出概率密度函數(shù). 下面我們來(lái)討論兩個(gè)具體的隨機(jī)變量函數(shù)的分布.一、的分布設(shè)的概率密度為，則的分布函數(shù)為 ，由無(wú)窮區(qū)域上的二重積分的計(jì)算方法有： .固定z和y，對(duì)積分作變換，令得 于是 .由概率密度的定義，可得Z的概率密度為 由于、的對(duì)稱(chēng)性，又可以表示為 特別地，當(dāng)隨機(jī)變量、互相獨(dú)立時(shí)，且邊緣概率密度分別為和，則有 以上兩個(gè)公式稱(chēng)為卷積公式利用上述卷積公式，可以證明得以下重要結(jié)論：若隨機(jī)變量，且X與Y相互獨(dú)立，則 在此基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)歸納法得到推論：結(jié)論1：設(shè)隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立，則有 還可以得到更一般結(jié)論：結(jié)論2：有限個(gè)相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其任何非零線(xiàn)性組合均服從正態(tài)分布. 即如果隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立，常數(shù)不全為零，則有 正態(tài)分布的這一重要性質(zhì)在統(tǒng)計(jì)中經(jīng)常用到. .設(shè)和是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從分布，求的概率密度. 解：由題設(shè)，知和的邊緣概率密度為 由卷積公式知 .設(shè)得 即Z服從正態(tài)分布.二、的分布設(shè)的概率密度為，則的分布函數(shù)為 令這個(gè)變換的雅可比行列式.于是，代入可得 從而有 特別當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時(shí)，有 其中分別為(X,Y)的關(guān)于X和Y的邊緣概率密度.例3. 設(shè)X、Y分別表示兩只不同型號(hào)的燈泡的壽命，X、Y相互獨(dú)立，它們的概率密度依次為 求的概率密度函數(shù) 解：當(dāng)時(shí)，Z的概率密度為 當(dāng)時(shí)，于是 （1）. 的分布設(shè)和是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有（2.）推廣：設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則及的分布函數(shù)分別為：特別地，當(dāng)相互獨(dú)立且具有相同的分布函數(shù)時(shí)有：第三章 習(xí)題如下四個(gè)二元函數(shù)，哪個(gè)不能作為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)[ ]（A）（B）（C）（D）2. （98，3分）設(shè)平面區(qū)域D由曲線(xiàn)，二維隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，則（X，Y）關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為 。 3.（99，3分） 設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y分別服從正態(tài)分布N（0，1）和N（1，1），則 （A） （B） （C） （D） 4.（99，8分） 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（X，Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處。 Y X15.（06，9分）隨機(jī)變量x的概率密度為為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù).(Ⅰ)求Y的概率密度；(Ⅱ)6.（07,4分）設(shè)隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，且不相關(guān)，分別表示的概率密度，則在的條件下，的條件概率密度為（ ）(A) (B) (C) (D) 7.（09，11分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的密度函數(shù)為試求： （1）求條件分布密度； （2）求條件概率.8.（09,11分）袋中有一個(gè)紅球，兩個(gè)黑球，三個(gè)白球，現(xiàn)有放回地從袋中取兩次，每次取一個(gè)求以分別表示兩次取球所取得的紅、黑與白球的個(gè)數(shù)（1）求（2）求二維隨機(jī)變量的概率分布.，且，求10.（87，6分） 設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，其概率密度函數(shù)分別為 求隨機(jī)變量Z=2X+Y的概率密度函數(shù)。11.（91，6分） 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為求隨機(jī)變量Z=X+2Y的分布函數(shù)。12．15：設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為試求： （1）條件概率密度；（2）13：設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且都服從（0,a）上的均勻分布，試求的分布密度與分布函數(shù)。14：設(shè)（X，Y）的密度函數(shù)為試求： （1）X，Y的邊緣密度函數(shù)，并判別其獨(dú)立性； （2）（X，Y）的條件分布密度； （3）P（X2|Y4）。15：設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度為試求 Z=XY的分布密度16：設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，在的條件下，隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，求(Ⅰ) 隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率密度；(Ⅱ) 的概率密度； (Ⅲ) 概率．17．17：設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布密度為（1） 求C；（2）求X，Y的邊緣分布；（2） 討論X與Y的獨(dú)立性；（4）計(jì)算P（X+Y≤1）。（1，），求行列式的概率分布。19（09,4分）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率分布為，記為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則函數(shù)的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）（A）0 （B）1 (C) 2 (D) 320. （06，4分）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間[0, 3]上的均勻分布，則= .21（）設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，且的分布函數(shù)為，則的分布函數(shù)為（ ）（A） （B） （C） （D） 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 167。 數(shù)學(xué)期望一 、 數(shù)學(xué)期望的概念定義1 設(shè)為一離散型墮機(jī)變量，其分布列為,，若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱(chēng)這級(jí)數(shù)為的數(shù)學(xué)期望，即 = （1）否則，稱(chēng)的數(shù)學(xué)期望不存在.在定義1中，要求絕對(duì)收斂是必需的，因?yàn)榈臄?shù)學(xué)期望是一確定的量，不受在級(jí)數(shù)中的排列次序的影響，這在數(shù)學(xué)上就要求級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.的數(shù)學(xué)期望也稱(chēng)為數(shù)以概率為權(quán)的加權(quán)平均.定義2 設(shè)為一連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)是，若時(shí)，則稱(chēng) （2）為的數(shù)學(xué)期望，否則稱(chēng)的數(shù)學(xué)期望不存在. 二、 常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望1． 二點(diǎn)分布設(shè)～b(1,p),即,.由（1）式，有　　　　　　　.2． 二項(xiàng)分布設(shè)～b(n,p),即, …,n, , .按（1）式，有　 3． 泊松分布設(shè)，即 ，0, 1, 2, …，.由（1）式，有.這說(shuō)明，泊松分布的參數(shù)就是服從泊松分布的隨機(jī)變量的均值.4． 均勻分布設(shè),即的密度函數(shù)為 按（2）式，有它恰好是區(qū)間的中點(diǎn)，這與均值意義相符.5． 指數(shù)分布設(shè)，即的密度函數(shù)為 按（2）式，有