【正文】 是否真正了解學生的起點？（3）從線性與非線性的觀點分析兩教法。預測兩教法的教學效果。參考答案： 簡要分析:兩個案例都注重學生的實踐操作,通過動手操作來理解直徑和半徑的特征及聯(lián)系B教師設計,是學生不斷激活“內存”的過程。建構主義是非常強調個體的經(jīng)驗的，個體的一切學習活動都是以經(jīng)驗為基礎展開的，讓學生充分調集和展示經(jīng)驗，是師生高效對話的前提。我們不僅要充分承認學生不是一張白紙，還要盡可能了解學生已經(jīng)有了哪些顏色。很明顯，第二位老師已經(jīng)為學生創(chuàng)設了一次成功的數(shù)學活動，我們可以預測這樣的活動一定能讓學生感受到了數(shù)學的無窮魅力。這種魅力，一方面是因為它承接了學生原有的認知經(jīng)驗，學生感受到數(shù)學很簡單、很日常、很好玩，有信心，有興趣去學習。另一方面，學生通過多感官的活動，探究這些親切有趣的現(xiàn)象背后的原理，建立一定的數(shù)學模型，培養(yǎng)一定的數(shù)學能力，由此得到更多的發(fā)展空間和持續(xù)動力。[論述題] 為引出單項式概念，教師在復習了代數(shù)式的概念后，要求學生討論黑板上的三個代數(shù)式7m，a，x2的共同點，希望學生能回答出“都具有數(shù)與字母的積或字母與字母的積的特點”． 生1：都是未知數(shù)． 師：這里不叫未知數(shù)，叫字母． 生2：都是兩個字母的相乘，或數(shù)與字母想乘． 師：對．還有呢？ 生3：都有很多字母． 師：……（搖搖頭） 生4：都是整式．生5：字母取任意一個數(shù)都可以．生6：它們算起來比較簡便．……學生的回答是非常踴躍的，思維是開放的，但對教師想得出的結論就是“啟而不發(fā)”．你覺得問題出在哪里？應怎樣改進？參考答案： 分析要點：（1）從評價的價值取向來看，教師的本意是表揚學生勇于回答問題的精神；（2）從評價方式來看，教師的用語過于簡單，產(chǎn)生了誤會；（3）從實際效果來看，教師只用了“一元評價”，而且丟棄了最主要的評價指標（問題的內容）．[論述題]有一節(jié)“100萬有多大”的數(shù)學課，教師設計了許多“100萬”的實例．其中有一個是“100萬顆米?！弊寣W生感到體積“很大”，另有一個是“100萬個細胞”讓學生感到體積“很小”．課堂小結時，有學生說：通過今天的學習，我知道了“100萬”可以很大也可以很?。處熆隙嗽搶W生的回答，并表揚了這種辯證的觀點．試分析該教師的做法是否正確？“100萬有多大”這節(jié)課的教學核心是什么？參考答案： 分析要點:該教師的做法不正確，他混淆了“數(shù)大”與“量大”的概念．“100萬有多大”這節(jié)課的教學核心是：感受大數(shù)．簡單地說，就是要讓學生感受到“100萬”是一個很大的數(shù)．[論述題] 這兩個函數(shù)的圖象會相交嗎參考答案： 簡要分析:（1）學生可能對兩個函數(shù)圖象的交點與解析式之間的關系缺乏理解；（2）教師的回答不夠妥當；（3）給學生自主探索的機會；（4）教師要鼓勵學生有不同想法．第五次作業(yè)[論述題]案例分析 “證法”合乎邏輯參考答案：解答[論述題] 關于加減消元法有如下片段，請進行分析． “我們的小世界杯”足球賽規(guī)定：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分．“勇士”隊賽了9場，共得17分．已知這個隊只輸2場，那么勝了幾場？又平了幾場呢？解 設勇士隊勝了x場，平了y場．根據(jù)得分的總場次所提供的等量關系有方程X+y=7． ①根據(jù)得分的總數(shù)所提供的等量關系有方程3x+y=17． ②由②－①得 2x=10，X=5．代入①得 y=2．答：勇士隊勝了5場，平了2場．這個解法步驟完整、計算準確、書寫規(guī)范，該沒有什么問題吧？可是學生問：為什么①式的賽場數(shù)與②式的得分數(shù)能夠相減？是學生在“單位”問題上鉆牛角尖了嗎？你是回答還是不回答？是從教學上回答還是從數(shù)學上回答？參考答案：其實，這里涉及生活原型與數(shù)學模式的關系．一方面式①、②來源于比賽場次與得分總數(shù)（有單位問題）．另一方面，列成方程后又完全舍棄了原型的物理性質，成為抽象的模式（已經(jīng)沒有單位了，有作者認為單位問題根本就不是數(shù)學問題），x+y=7可以去刻畫任何“兩者和為7”的生活現(xiàn)象而不專屬于任一生活現(xiàn)象．方程的加減，是根據(jù)方程的理論與方法進行的（消元化歸），這是數(shù)學內部的事情（與單位無關）．最后，得出x=5,y=2后，才又回到生活中去，給出解釋（有單位了）．也就是說，足球賽的現(xiàn)實原型經(jīng)過代數(shù)運作之后（設未知數(shù)，進行四則運算等），已經(jīng)凝聚為對象（方程），經(jīng)過“建模”之后的運作已經(jīng)是數(shù)學對象的形式運算了，當中的消元求解過程是化歸思想的應用，與現(xiàn)實原型的具體含義無關．[論述題] 關于不等式性質的運用,有如下問題,請進行分析。 已知 2≤x+y≤4, ① 1≤xy≤2, ② 求4x2y的范圍。 解 ①+②得 3≤2x≤6, 所以 6≤4x≤12. ③ 又由①得 4≤xy≤2, ④②+④得 3≤2y≤0 ⑤故由③、⑤得 3≤4x2y≤12參考答案： 正確解法[論述題]案例分析(從算術運算到代數(shù)方程的過渡)參考答案： 其實，這涉及到方程概念的兩個很本質問題：其一，關于未知數(shù)x，它是客觀上完全確定而主觀上尚未知曉的辯證統(tǒng)一，融已知與未知于一身，隨著解題的進展，由未知轉化為已知．其二，關于方程的本質，它主要表現(xiàn)為由平衡關系提出的問題，平衡關系決定未知數(shù)的取值，未知數(shù)依平衡關系而取值．它反映了同一事物在兩種表現(xiàn)形式下有相等關系，也反映了兩種事物在不同形式下有相等關系．應該說，“含有未知數(shù)”、“等式”更側重于方程外形上的表述，學生的問題向我們的數(shù)學功底提出了挑戰(zhàn)．[論述題] 新數(shù)學運動強調應當在中小學甚至幼兒園及早地引入“集合”概念，以下是在這一背景下發(fā)生的一個案例．請運用你學到的數(shù)學教育理論知識并結合自己的認識加以分析，要求分析不少于500字。一個數(shù)學家的女兒由幼兒園放學回到了家中，父親問她今天學到了什么？女兒高興地回答道：“我們今天學了‘集合’”．數(shù)學家想道：“對于這樣一個高度抽象的概念來說，女兒的年齡實在太小了．”因此，他關切地問道：“你懂嗎？”女兒肯定地回答：“懂！一點也不難．”這樣抽象的概念難道會這樣容易嗎？聽了女兒的回答，作為數(shù)學家的父親還是放心不下，因此，他又追問道：“你們的教師是怎樣教的？”女兒說：“女教師先讓班上所有的男孩子站起來，然后告訴大家這就是男孩子的集合；其次，她又讓所有的女孩子站起來，并說這就是女孩子的集合；接下來，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，等等．最后，教師問大家：‘是否都懂了？’她得到了肯定的答復．”這樣的教學法似乎也沒有什么問題，因此，父親就以如下的問題作為最后的檢驗：“那么，我們能否以世界上所有的匙子或土豆組成一個集合呢？”遲疑了一會，女兒最終回答道：“不行！除非它們都能站起來．”參考答案： 提示：思考角度如：①“女教師”是怎樣組織“集合”教學的？為什么教師所傳授的知識不是“女兒”所回答的？②“女兒”為什么說集合學習“一點也不難”？又為什么要強調匙子和土豆都“站起來”？③世界上所有的匙子或土豆“組成的集合”與“幼兒園里部分孩子（男、女、白、黑）”組成的集合有無不同？對于幼兒園孩子認識集合概念而言，是“女教師”的教學不對頭還是“數(shù)學家”的提問不恰當？