(點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)?知識(shí)點(diǎn)-資料下載頁(yè)
2025-06-24 02:53本頁(yè)面
【正文】 4．4．1，的任何開(kāi)集的任何連通分支都是道路連通的，因此包含于這個(gè)開(kāi)集的某一個(gè)道路連通分支之中．另一方面．任何一個(gè)集合的道路連通分支，由于它是連通的，所以包含于這個(gè)集合的某一個(gè)連通分支之中．因此，本推論的結(jié)論成立． 通過(guò)引進(jìn)局部道路連通的概念，定理4．5．5和推論4．5．6的結(jié)論可以得到推廣．（參見(jiàn)習(xí)題5．）作業(yè): 1. 2. 本章總結(jié)：（1）有關(guān)連通、局部連通、道路連通均為某個(gè)集合的概念，與這個(gè)集合的母空間是否連通、局部連通、道路連通無(wú)關(guān)。 （2）掌握連通、局部連通、道路連通這三者之間的關(guān)系。 （3）記住中的哪些子集是連通、局部連通、道路連通的。 （4）連通、局部連通、道路連通分支是一個(gè)分類(lèi)原則，即每個(gè)集合都是若干個(gè)某某分支的并，任兩個(gè)不同的分支無(wú)交，每個(gè)分支非空。若兩個(gè)分支有交，則必是同一個(gè)分支。 （5）連通是本章的重點(diǎn)。（6）掌握證明連通、不連通及道路連通的方法。特別注意反證法。（7）掌握連通性、局部連通性、道路連通是否是連續(xù)映射所保持的、有限可積的、可遺傳的。半期復(fù)習(xí)主要復(fù)習(xí)兩個(gè)內(nèi)容：拓?fù)鋵W(xué)研究的思路與成果；常見(jiàn)證明方法。一． 研究的思路與成果1．預(yù)備知識(shí)：（1）集合的三種運(yùn)算的定義與證明方法： 并、交、差：A∪B、A∩B、AB（2）在映射f之下，集合的并、交、差的象有什么特點(diǎn)？ f（A∪B）=f（A）∪f(wàn)（B） f（A∩B）f（A）∩f（B） 當(dāng)f為單射時(shí)，取等號(hào) f（AB）f（A）f（B） 當(dāng)f為單射時(shí)，取等號(hào)（3）集合的并、交、差運(yùn)算關(guān)于f的原象有什么特點(diǎn)？ 一句話：保持運(yùn)算。即 （4） f滿時(shí)取等號(hào) f單時(shí)取等號(hào)（5）等價(jià)關(guān)系、等價(jià)類(lèi)的定義，作用 等價(jià)類(lèi)是一種分類(lèi)方法，將等價(jià)類(lèi)看成一個(gè)元素，所有這樣元素的集合就是原集合的商集。（5）有限集與無(wú)限集、可數(shù)集與不可數(shù)集大不相同。2．拓?fù)淇臻g（1）度量空間、球形鄰域、開(kāi)集、連續(xù)映射的定義。（2）拓?fù)淇臻g的定義 拓?fù)淇臻g是所有數(shù)學(xué)空間中最基礎(chǔ)的空間（是所有數(shù)學(xué)空間的交集）它只具有開(kāi)集。（3）模仿實(shí)數(shù)空間，在拓?fù)淇臻g中引進(jìn)實(shí)數(shù)空間的性質(zhì)。 定義了鄰域、閉集、閉包、凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集 定義了連續(xù)映射，并利用閉集、閉包給出了連續(xù)映射的等價(jià)命題。（4）模仿高等代數(shù)，給出了基的概念。（5）定義了序列及極限點(diǎn)。思路：模仿實(shí)數(shù)空間，在拓?fù)淇臻g中引進(jìn)實(shí)數(shù)空間的性質(zhì)。同時(shí)也剖析了實(shí)數(shù)空間，使我們對(duì)實(shí)數(shù)空間的認(rèn)識(shí)更深刻。因此，我們?cè)谘芯扛鞣N性質(zhì)時(shí)，應(yīng)不斷探討：R中是否具有這種性質(zhì)？與R中的相應(yīng)性質(zhì)有何區(qū)別？3．從拓?fù)淇臻g構(gòu)造新的拓?fù)淇臻g（1）子空間的定義，子空間中開(kāi)集、閉集、閉包、導(dǎo)集、鄰域的結(jié)構(gòu)。（2）積空間極其基的概念。（3）商空間的定義4．關(guān)于連通性（1）不連通與連通的概念。這概念只是關(guān)于子集本身的性質(zhì)，與母空間、子空間無(wú)關(guān)。（2）如何判斷連通與不連通？（3）R中連通子集的性質(zhì)。（4）局部連通、道路連通的定義及三種連通之間的蘊(yùn)涵關(guān)系。（5）將一般空間中的點(diǎn)按連通、道路連通分類(lèi)，即連通分支、道路連通分支。（6）中子集的的連通性（7）連續(xù)映射對(duì)三種連通空間的象的影響。二．常見(jiàn)證明方法 1．證明集合包含 相等 2．證明連續(xù)映射：反射開(kāi)集、閉集、鄰域3．證明開(kāi)集：。在連續(xù)映射下，是否是開(kāi)集的原象？4．證明基： 。 證明不是凝聚點(diǎn): 證明閉包:,用定義。證明序列收斂,用反證法.,常用反證法,導(dǎo)出某個(gè)隔離子集是空集.、閉包等9．常用反證法復(fù)習(xí)參考：一. 判斷題(每小題3分)1. 集合X的一個(gè)拓?fù)溆胁恢灰粋€(gè)基,一個(gè)基也可以生成若干個(gè)拓?fù)? )2. 拓?fù)淇臻g中任兩點(diǎn)的距離是無(wú)意義的.( )3. 實(shí)數(shù)集合中的開(kāi)集,只能是開(kāi)區(qū)間,或若干個(gè)開(kāi)區(qū)間的并.( )4. TT2是X的兩個(gè)拓?fù)?，則T1UT2是一個(gè)拓?fù)?( )5. 平庸空間中任一個(gè)序列均收斂，且收斂于任一個(gè)點(diǎn)。（ ）6. 從（X，T1）到（X，T2）的恒同映射必是連續(xù)的。（ ）7. 拓?fù)淇臻g中的連通分支是既開(kāi)又閉的子集。（ ）8. （X，T）為平庸空間，YX，則子空間Y的拓?fù)錇閧Y，}。（ ）二．填空題：(每空格4分)1. X=Z+,T={Z1,Z2,…Zn…},其中Zn={n,n+1,n+2,…},則包含3的所有開(kāi)集為_(kāi)____________________________包含3的所有閉集為_(kāi)______________________________包含3的所有鄰域?yàn)開(kāi)______________________________設(shè)A={1,2,3,4,5}則A的導(dǎo)集為_(kāi)_______________________________A的閉包為_(kāi)__________________________________2． 設(shè)X為度量空間,x∈X,則d（{x}）=______________(52分):1. 設(shè)X有拓?fù)銽1,T2,…Tn,則∩Ti也是拓?fù)?2. 度量空間中收斂序列的極限是唯一的.3. 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,B是一個(gè)基,x∈X,則Bx={B∈B|x∈B}是點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基.4. 在歐氏平面R2中令Y={(0,y)|y∈R}∪{(x,0)|x∈R},證明:Y與實(shí)數(shù)空間R不同胚.(提示:用反證法)5. 設(shè)f:XY的連續(xù)映射,X為道路連通空間,則f(X)也為道路連通空間.復(fù)習(xí)參考答案：(每小題3分),一個(gè)基也可以生成若干個(gè)拓?fù)? ).( √ ),只能是開(kāi)區(qū)間,或若干個(gè)開(kāi)區(qū)間的并.( )、T2是X的兩個(gè)拓?fù)?，則T1UT2是一個(gè)拓?fù)?( )，且收斂于任一個(gè)點(diǎn)。（ √ ）（X，T1）到（X，T2）的恒同映射必是連續(xù)的。（ ）。（ ）8.（X，T）為平庸空間，YX，則子空間Y的拓?fù)錇閧Y，}。（ √ ）二．填空題：(每空格4分)=Z+,T={Z1,Z2,…Zn…},其中Zn={n,n+1,n+2,…},則包含3的所有開(kāi)集為包含3的所有閉集為包含3的所有鄰域?yàn)樵O(shè)A={1,2,3,4,5}則A的導(dǎo)集為{1,2,3,4}A的閉包為{1,2,3,4,5},x∈X,則d（{x}）=(52分):1. 設(shè)X有拓?fù)湟彩峭負(fù)?證:所以也是拓?fù)?.證:設(shè)→x, →y,則B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=.對(duì)于B(x,ρ(x,y)/3),存在0,當(dāng)i時(shí)有 B(x,ρ(x,y)/3)對(duì)于B(y,ρ(x,y)/3),存在0,當(dāng)i時(shí)有 B(y,ρ(x,y)/3)取N=max{,},則當(dāng)iN時(shí)有 B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)與B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=.矛盾,B是一個(gè)基,x∈X,則Bx={B∈B|x∈B}是點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基. ={(0,y)|y∈R}∪{(x,0)|x∈R},證明:Y與實(shí)數(shù)空間R不同胚.(提示:用反證法)證:{0,0}與R{0}{0,0}有四個(gè)連通分支,而R{0},.:XY的連續(xù)映射,X為道路連通空間,則f(X)也為道路連通空間.
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