(點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)?知識(shí)點(diǎn)(編輯修改稿)
2025-07-21 02:53 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 證明過(guò)的情形）一般都需要代數(shù)拓?fù)渲R(shí)，例如同調(diào)論或同倫論，請(qǐng)參閱有關(guān)的專(zhuān)門(mén)書(shū)籍．作業(yè)： 4. 167。4．3 連通分支本節(jié)重點(diǎn):掌握連通分支的定義.(即連通”類(lèi)”的分法) 掌握連通分支的性質(zhì)() 從前面兩節(jié)中的內(nèi)容可以看出，知道一個(gè)拓?fù)淇臻g是否連通給我們處理一些問(wèn)題帶來(lái)很大的方便．這導(dǎo)致我們?nèi)タ疾煲粋€(gè)我們并不知道是否連通的拓?fù)淇臻g中的“最大”連通子集（即連通分支）． 定義4．3．1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x，y∈X．如果X中有一個(gè)連通子集同時(shí)包含x和y，我們則稱點(diǎn)x和y是連通的．(注意:是點(diǎn)連通) 根據(jù)定義可見(jiàn)，如果x，y，z都是拓?fù)淇臻gX中的點(diǎn)，則 （1）x和x連通（因?yàn)槊恳粋€(gè)單點(diǎn)集都是連通子集）； （2）如果x和y連通，則y和x也連通；（顯然） (3) 如果x和y連通，并且y和z連通，則x和z連通．（這是因?yàn)?，這時(shí)存在X中的連通子集A和B使得x，y∈A和y，z∈B．從而由于y∈A∩B可見(jiàn)A∪B連通，并且x，z∈A∪B．因此x和z連通．） 以上結(jié)論歸結(jié)為：拓?fù)淇臻g中點(diǎn)的連通關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系． 定義4．3．2 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．對(duì)于X中的點(diǎn)的連通關(guān)系而言的每一個(gè)等價(jià)類(lèi)稱為拓?fù)淇臻gX的一個(gè)連通分支． 如果Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集．Y作為X的子空間的每一個(gè)連通分支稱為X的子集Y的一個(gè)連通分支． 拓?fù)淇臻gX≠的每一個(gè)連通分支都不是空集；X的不同的連通分支無(wú)交；以及X的所有連通分支之并便是X本身．此外，x，y∈X屬于X的同一個(gè)連通分支當(dāng)且僅當(dāng)x和y連通． 拓?fù)淇臻gX的子集A中的兩個(gè)點(diǎn)x和y屬于A的同一個(gè)連通分支當(dāng)且僅當(dāng)A有一個(gè)連通子集同時(shí)包含點(diǎn)x和y． 定理4．3．1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，C是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)連通分支．則 （1）如果 Y是X的一個(gè)連通子集，并且 Y∩C≠； （2）C是一個(gè)連通子集； （3）C是一個(gè)閉集． 本定理中的條件（1）和（2）說(shuō)明，拓?fù)淇臻g的每一個(gè)連通分支都是X的一個(gè)最大的連通子集． 證明 （1）任意選取x∈ Y∩C．對(duì)于任何y∈Y由于x和y連通，故y∈C．這證明YC． （2）對(duì)于任何x，y∈C，根據(jù)定義可見(jiàn)，存在X的一個(gè)連通子集使得x，y∈．顯然∩C≠，故根據(jù)（1），C．應(yīng)用定理4．1．7可知，C是連通的． （3）由于C連通，根據(jù)定理4．1．5，連通．顯然。所以根據(jù)（1），．從而C是一個(gè)閉集． 但是，一般說(shuō)來(lái)連通分支可以不是開(kāi)集．例如考慮有理數(shù)集Q（作為實(shí)數(shù)空間R的子空間）．設(shè)x，y∈Q，x≠y．不失一般性，設(shè)x＜y．如果Q的一個(gè)子集E同時(shí)包含x和y，令A(yù)=(∞，r)∩E和B=(r，∞)∩E，其中r是任何一個(gè)無(wú)理數(shù)，x＜r＜y．此時(shí)易見(jiàn)A和B都是Q的非空開(kāi)集，并且E＝A∪B．因此E不連通．以上論述說(shuō)明E中任何一個(gè)包含著多于兩個(gè)點(diǎn)的集合都是不連通的，也就是說(shuō)，Q的連通分支都是單點(diǎn)集．然而易見(jiàn)Q中的每一個(gè)單點(diǎn)集都不是開(kāi)集． 記住這個(gè)事實(shí):任一個(gè)集合A都可以由含于它內(nèi)部的所有連通分支的并而成(且這些連通分支互不相交).即使是離散空間,它的每一個(gè)點(diǎn)自成連通分支,這個(gè)結(jié)論也成立. 作業(yè): 1. 3. 4. 8. 167。4．4局部連通空間 本節(jié)重點(diǎn): 掌握局部連通的定義與性質(zhì)() 掌握連通與局部連通的關(guān)系.引進(jìn)新的概念之前，我們先來(lái)考察一個(gè)例子． 例4．4．1在歐氏平面中令S={(x,sin(1/x)) | x∈(0,1]}．T={0}[1,1],其中S被稱作拓?fù)鋵W(xué)家的正弦曲線，它是區(qū)間（0，1]在一個(gè)連續(xù)映射下的象，因此是連通的．此外，也容易驗(yàn)證＝ S∪T，因此 ＝ S∪T也是連通的．盡管如此，倘若我們查看中的點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)它們明顯地分為兩類(lèi)：S中的每一個(gè)點(diǎn)的任何一個(gè)“較小的”鄰域中都包含著一個(gè)連通的鄰域，． 定義4．4．1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x∈X．如果x的每一個(gè)鄰域U中都包含著x的某一個(gè)連通的鄰域V，則稱拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x處是局部連通的． 如果拓?fù)淇臻gX在它的每一個(gè)點(diǎn)處都是局部連通的，則稱X是一個(gè)局部連通空間． 回到例4．4．1中所定義的拓?fù)淇臻g．容易證明，在其屬于S的每一個(gè)點(diǎn)處是局部連通的，而在其屬于T的每一個(gè)點(diǎn)處都不是局部連通的．也因此，盡管是一個(gè)連通空間，但它卻不是一個(gè)局部連通的空間． 局部連通的拓?fù)淇臻g也不必是連通的．例如，每一個(gè)離散空間都是局部連通空間，但包含著多于兩個(gè)點(diǎn)的離散空間卻不是連通空間．又例如，n維歐氏空間的任何一個(gè)開(kāi)子空間都是局部連通的（這是因?yàn)槊恳粋€(gè)球形鄰域都同胚于整個(gè)歐氏空間，因而是連通的），特別，歐氏空間本身是局部連通的．另一方面，歐氏空間中由兩個(gè)無(wú)交的非空開(kāi)集的并作為子空間就一定不是連通的（請(qǐng)讀者自己證明）．此外根據(jù)定義立即可見(jiàn)：拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x∈X處是局部連通的當(dāng)且僅當(dāng)x的所有連通鄰域構(gòu)成點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基，定理 4．4．1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．則以下條件等價(jià)： （1）X是一個(gè)局部連通空間； （2）X的任何一個(gè)開(kāi)集的任何一個(gè)連通分支都是開(kāi)集； （3）X有一個(gè)基，它的每一個(gè)元素都是連通的． 證明（1）蘊(yùn)涵（2）．設(shè)C是X的一個(gè)連通分支,．如果x∈C，由于U是x的一個(gè)鄰域，所以當(dāng)（1）成立時(shí)x有一個(gè)連通鄰域V包含于U．又由于V∩C包含著點(diǎn)x,所以不是空集，根據(jù)定理4．3．1可見(jiàn)．因此C∈．這證明C是屬于它的任何一個(gè)點(diǎn)x的鄰域，因此C是一個(gè)開(kāi)集． （2）蘊(yùn)涵（3）．若（2）成立，則X的所有開(kāi)集的所有連通分支（它們都是開(kāi)集）構(gòu)成的集族，由于每一個(gè)集合是它的所有連通分支之并，恰是X的一個(gè)基． （3）蘊(yùn)涵(1)．顯然． 我們常用到定理4．4．1的一個(gè)推論：局部連通空間的每一個(gè)連通分支都是開(kāi)集． 定理4．4．2 設(shè)X和Y都是拓?fù)淇臻g，其中X是局部連通的．又設(shè)f: X→Y是一個(gè)連續(xù)開(kāi)映射． 則 f（X）是一個(gè)局部連通空間．證明 根據(jù)定理4．4．1，可設(shè)B是X的一個(gè)基，其中的每一個(gè)元素都是連通的．對(duì)于每一個(gè)B∈B，集合f(B)是連通的，并且由于 f是一個(gè)開(kāi)映射，f（B）是 Y中的一個(gè)開(kāi)集，因此也是 f（X）的一個(gè)開(kāi)集．這證明集族B1={f（B）| B∈B}}是一個(gè)由f（X）的連通開(kāi)集構(gòu)成的族．我們指出B1是f(X)的一個(gè)基，這是因?yàn)?，如果U是f(X)中的一個(gè)開(kāi)集，則（U）是X中的一個(gè)開(kāi)集，因此 是B1中某些元素之并．于是根據(jù)定理4．4．l可知f（X）是局部連通的．根據(jù)定理4．4．2易見(jiàn)，拓?fù)淇臻g的局部連通性是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì). 定理4．4．3設(shè)是n≥1個(gè)局部連通空間．則積空間也是局部連通空間． 證明 (略) 應(yīng)用這些定理，有些事情說(shuō)起來(lái)就會(huì)簡(jiǎn)單得多．例如，實(shí)數(shù)空間R由于所有的開(kāi)區(qū)間構(gòu)成它的一個(gè)基，所以它是局部連通的；n維歐氏空間是n個(gè)R的積空間，所以它也是局部連通的．當(dāng)然這些事情我們?cè)缇椭懒耍? 作業(yè): 1. 2. 3. 167。4．5 道路連通空間本節(jié)重點(diǎn)：掌握道路連通的概念、性質(zhì)。 掌握連通、局部連通、道路連通之間的聯(lián)系與區(qū)別。 掌握道路連通分支的概念。 掌握中子集的連通性質(zhì)。較之于連通空間的概念，道路連通空間這個(gè)概念似覺(jué)更符合我們的直覺(jué)因而易于理
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