【正文】 (1)相等 。垂直 . (2)成立 .理由如下 : 過點(diǎn) E作 EM⊥ PQ于點(diǎn) M,作 EN⊥ BC于點(diǎn) N,如圖所示 . ? ∵ PQ⊥ BC, ∴ 四邊形 MCNE是矩形 , ∴∠ MEN=90176。. ∵ CE是 ∠ PCB的平分線 , ∴ ME=EN. 又 ∵ ED是 AB的垂直平分線 , ∴ AE=BE, ∴ △ AME≌ △ BNE, ∴∠ MEA=∠ NEB. ∵∠ MEA+∠ AEN=90176。, ∴∠ NEB+∠ AEN=90176。, ∴ AE⊥ BE. 綜上 ,AE=BE,AE⊥ BE. (3)EF=? (ba). 224.(2022河北邯鄲一模 ,21)已知 :如圖 ,△ ABC和△ EFC都是等腰直角三角形 ,∠ ACB=∠ ECF=90176。, 點(diǎn) E在 AB邊上 . (1)求證 :△ ACE≌ △ BCF。 (2)若 ∠ BFE=60176。,求 ∠ AEC的度數(shù) . ? 解析 (1)證明 :∵ △ ABC和△ EFC都是等腰直角三角形 , ∴ CA=CB,CE=CF. ∵∠ ACB=∠ ECF=90176。, ∴∠ ACE+∠ ECB=∠ ECB+∠ BCF, ∴∠ ACE=∠ BCF. ∴ △ ACE≌ △ BCF(SAS). (2)∵ △ ECF是等腰直角三角形 ,∠ ECF=90176。, ∴∠ CEF=∠ CFE=45176。. ∵∠ BFE=60176。, ∴∠ BFC=∠ BFE+∠ CFE=105176。. ∵ △ ACE≌ △ BCF, ∴∠ AEC=∠ BFC=105176。. B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時(shí)間 :25分鐘 分值 :30分 ) 一、選擇題（每題 3分，共 6分） 1.(2022商丘一模 ,5)如圖 ,將一副三角板疊放在一起 ,使直角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn) O,AB∥ OC,DC與 OB交于點(diǎn) E,則 ∠ DEO的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C 由題意得 ,∠ B=30176。,∠ C=45176。,因?yàn)?AB∥ OC,所以 ∠ BOC=∠ B=30176。.所以 ∠ DEO= ∠ BOC +∠ C =30176。+45176。=75176。.故選 C. 思路分析 本題考查角的性質(zhì) ,平行線的性質(zhì) ,三角形外角定理 ,屬基礎(chǔ)題 . 2.(2022安陽一模 ,8)如圖 ,已知△ ABC,按如下步驟作圖 :①先分別以 A,B兩點(diǎn)為圓心 ,以大于 ? AB 的長為半徑作弧 ,兩弧相交于 M,N兩點(diǎn) ,作直線 MN。②再分別以 B,C兩點(diǎn)為圓心 ,以大于 ? BC的長 為半徑作弧 ,兩弧相交于 G,H兩點(diǎn) ,作直線 GH,GH與 MN交于點(diǎn) ∠ BAC=66176。,則 ∠ BPC等于 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 1212答案 C 由作圖知 MN,GH分別是 AB,BC邊的垂直平分線 ,連接 PA ,則 PA =PB=PC,∴ △ PAB, △ PAC為等腰三角形 .∴∠ PAB=∠ PBA,∠ PAC=∠ PCA.∴∠ APB=180176。2∠ PAB,∠ APC=180176。 2∠ PAC,∴∠ APB+∠ APC=360176。2∠ BAC=228176。,∴∠ BPC=360176。(∠ APB+∠ APC)=132176。,故選 C. 3.(2022安陽一模 ,12)如圖 ,△ ABC中 ,∠ B=35176。,∠ BCA=75176。,請依據(jù)尺規(guī)作圖的作圖痕跡 ,計(jì)算 ∠ α = . ? 二、填空題 (共 3分 ) 答案 75176。 解析 ∵∠ B=35176。,∠ BCA=75176。, ∴∠ BAC=70176。. ∵ 由作圖痕跡可知 ,AD是 ∠ BAC的角平分線 , ∴∠ CAD=? ∠ BAC=35176。. ∵ 由作圖痕跡可知 ,EF是線段 BC的垂直平分線 , ∴∠ BCF=∠ B=35176。, ∴∠ ACF=∠ ACB∠ BCF=40176。, ∴∠ α=∠ CAD+∠ ACF=75176。. 12思路分析 根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出 ∠ BAC=70176。,由角平分線的定義求出 ∠ CAD的度數(shù) ,再由 EF是線段 AC的垂直平分線得出 ∠ B=∠ BCF,最后得出 ∠ α的度數(shù) . 4.(2022濮陽一模 ,22)如圖 1,在四邊形 ABCD中 ,AB=AD,∠ B+∠ ADC=180176。,點(diǎn) E,F分別在四邊形 ABCD的邊 BC,CD上 ,∠ EAF=? ∠ BAD,連接 EF,試猜想 EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系 . (1)思路梳理 將△ ABE繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ ADG,使 AB與 AD重合 ,由 ∠ B+∠ ADC=180176。,得 ∠ FDG=180176。,即 點(diǎn) F,D,G三點(diǎn)共線 ,易證△ AFG≌ ,故 EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系為 。 (2)類比引申 如圖 2,在圖 1的條件下 ,若點(diǎn) E,F由原來的位置分別變到四邊形 ABCD的邊 CB,DC延長線上 , ∠ EAF=? ∠ BAD,連接 EF,試猜想 EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系 ,并給出證明 。 (3)聯(lián)想拓展 如圖 3,在△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,AB=AC,點(diǎn) D,E均在邊 BC上 ,且 ∠ DAE=45176。,若 BD=1,EC=2,則 DE 的長為 . 1212三、解答題 (共 21分 ) 解析 (1)△ AFE,EF=BE+DF. (2)EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系是 EF=DFBE. 證明 :將△ ABE繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) ,使 AB與 AD重合 ,得到△ ADE39。,如圖 (1)所示 ,則△ ABE≌ ADE39。, ∴∠ DAE39。=∠ BAE,AE39。=AE,DE39。=BE,∠ ADE39。=∠ ABE. ∵∠ ABC+∠ ADC=180176。,∠ ABC+∠ ABE=180176。, ∠ ADE39。=∠ ADC,即 E39。,D,F三點(diǎn)共線 . 又 ∠ EAF=? ∠ BAD, ∴∠ E39。AF=∠ BAD(∠ BAF+∠ DAE39。)=∠ BAD(∠ BAF+∠ BAE) =∠ BAD∠ EAF=? ∠ BAD, ∴∠ EAF=∠ E39。AF. ? 1212在△ AEF和△ AE39。F中 , ? ∴ △ AEF≌ △ AE39。F(SAS),∴ FE=FE39。. 又 ∵ FE39。=DFDE39。,∴ EF=DFBE. (3)? . 提示 :將△ ABD繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ ACD39。,使 AB與 AC重合 ,連接 ED39。,如圖 (2)所示 , 由 (1)得 ,△ AED≌ AED39。,∴ DE=D39。E. ∵∠ ACB=∠ B=∠ ACD39。=45176。,∴∠ ECD39。=90176。. 在 Rt△ ECD39。中 ,ED39。=? =? ,即 DE=? . ? 39。,39。,A E A EE A F E A FA F A F???? ? ?????52239。EC DC? 5 5思路分析 本題以旋轉(zhuǎn)變換為背景考查全等三角形的判定和性質(zhì) .(1)由題意得△ AFG≌ △ AFE,易得 EF=BE+DF。(2)將△ ABE繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) ,使 AB與 AD重合 ,得到△ ADE39。,證明△ AEF ≌ △ AE39。F,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答 。(3)將△ ABD繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△ ACD39。,使 AB與 AC重 合 ,連接 ED39。,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算得解 . 5.(2022安陽二模 ,22)數(shù)學(xué)課上老師提出了如下問題 :如圖 1,△ ABC是等邊三角形 ,點(diǎn) D在 AC的 延長線上 ,且 CD=DE,EC⊥ BC(ECBC),連接 BE,點(diǎn) F是 BE的中點(diǎn) ,連接 AF, :① AF與 DF 有怎樣的位置關(guān)系 ?② ∠ DAF的度數(shù)是多少 ? (1)嘗試探究 小明解決上述問題時(shí) ,嘗試探索的思路是 :延長 DF到點(diǎn) G,使 GF=DF,連接 BG(如圖 2),然后證明 △ DEF≌ △ GBF,再證明 AG=AD,從而得出結(jié)論 . 根據(jù)小明的思路和你的探索 ,你認(rèn)為 :① AF與 DF的位置關(guān)系是 。② ∠ DAF的度數(shù)為 . (2)解決問題 若將圖 1中的△ CDE繞點(diǎn) C順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ,使點(diǎn) E落在 BC邊上 ,其他條件不變 (如圖 3),請判斷 (1)中 你得到的結(jié)論是否仍然成立 .若成立 ,請說明理由 。若不成立 ,請給出新的結(jié)論 ,并加以證明 . 解析 (1)① AF⊥ DF。② 30176。.? (4分 ) (2)(1)中的結(jié)論仍然成立 ,理由如下 : 延長 DF到點(diǎn) G,使 GF=DF,連接 BG,AG,如圖 . ∵ 點(diǎn) F是 BE的中點(diǎn) ,∴ BF=EF. ? 在△ BFG和△ EFD中 , ? ∴ △ BFG≌ △ EFD.? (6分 ) ∴ GB=DE,∠ GBF=∠ DEF. ,B F E FB F G E F DG F D F???? ? ?????∵ DE=DC,∴ GB=DC. ∵ △ ABC是等邊三角形 , ∴ AB=AC,∠ BAC=∠ ABC=∠ ACB=60176。, 由 (1)知 ,∠ DEC=∠ DCE=30176。, ∴∠ GBF=∠ DEF=150176。. ∴∠ ABG=∠ GBF∠ ABC=150176。60176。=90176。. ∴∠ ACD=∠ ACB+∠ DCE=60176。+30176。=90176。. ∴∠ GBA=∠ ACD. 在△ ABG和△ ACD中 ,? ∴ △ ABG≌ △ ACD.? (8分 ) ∴ AG=AD,∠ GAB=∠ DAC. ∴∠ GAD=60176。,△ ADG為等邊三角形 . 又 GF=DF,∴ AF⊥ DF,∠ DAF=30176。.? (10分 ) ,A B A CA B G A C DB G C D???? ? ??? ??思路分析 (1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和 F是 BE的中點(diǎn) ,構(gòu)造全等三角形 ,得出結(jié)論 。(2)類比 (1) 中的證明方法 ,構(gòu)造△ BFG≌ △ EFD,再證△ ABG≌ △ ACD,得出△ AGD為等邊三角形 ,從而解 決問題