平面幾何的26個定理-資料下載頁
2025-06-19 22:03本頁面
【正文】 線PQR稱為△ABC的萊莫恩線。 證明：由弦切角定理可以得到： sin∠ACR=sin∠ABC ，sin∠BCR=sin∠BAC sin∠BAP=sin∠BCA， sin∠CAP=sin∠ABC sin∠CBQ=sin∠BAC sin∠ABQ=sin∠BCA 所以，我們可以得到：(sin∠ACR/sin∠BCR)*(sin∠BAP/sin∠CAP)*(sin∠CBQ/sin∠ABQ)=1，這是角元形式的梅涅勞斯定理，所以，由此，得到△ABC被直線PQR所截，即P、Q、R共線。26．清宮定理：設P、Q為△ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點，P關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長線于D、E、F，則D、E、F在同一直線上 證明：設P、Q為△ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點，P關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長線于D、E、F 這時，P、Q兩點和D、F、E、三點有如下關系： 將三角形的三邊或者其延長線作為鏡面，則從P點出發(fā)的光線照到D點經(jīng)過BC反射以后通過Q點，從P點出發(fā)的光線照到E點經(jīng)AC的延長線反射后通過Q點，從P點出發(fā)的光線照到F點后通過Q點 從而，如果P、Q兩點重合，則D、E、F三點成為從P（即Q）點向BC，CA，AB或者它們的延長線所引的垂線的垂足。于是，如果P、Q兩點重合，清宮定理就成為西摩松定理。 我們決定將證明清宮定理的方針確定如下：因為D、E、F三點中，有兩點在△ABC的邊上，其余一點在邊的延長線上， 如證明（BD/DC）（CE/EA）（AF/FB）=1， 則根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理，就可證明DEF三點在同一直線上。 首先，A、B、P、C四點在同一圓周上，因此∠PCE=∠ABP 但是，點P和V關于CA對稱 所以∠PCV=2∠PCE 又因為P和Ｗ關于AB對稱，所以 ∠PBW=2∠ABP 從這三個式子，有 ∠PCV=∠PBW 另一方面，因為∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所對的圓周角，所以∠PCQ=∠PBQ 兩式相加，有∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ 即∠QCV=∠QBW 即△QCV和△QBW有一個頂角相等，因此 S（△QCV）/S（△QBW）=（CVCQ）/（BWBQ） 但是CV=CP，BW=BP，所以S（△QCV）/S（△QBW）=（CPCQ）/（BPBQ） 同理S（△QAW）/Ｓ（△QCU）=（APAQ）/（CPCQ） S（△QBU）/S（△QAV）=（BPBQ）/（APAQ） 于是（BD/DC）（CE/EA）（AF/FB）=[S（△QBU）/S（△QCU）][S（△QCV）/S（△QAV）][S（△QAW）/S（△QBW）] =[S（△QBU）/S（△QAV）][S（△QCV）/S（△QBW）][S（△QAW）/S（△QCU）] =[（BPBQ)/（APAQ）][（CPCQ)/（BPBQ）] [（APAQ)/（CPCQ）] =1 根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理，D、E、F三點在同一直線上1. 若不給自己設限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。用一些事情，總會看清一些人。有時候覺得自己像個神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅持堅持，就過來了。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻給她的是一些色彩，它奉獻給你的也是一些色彩。你必須努力，當有一天驀然回首時，你的回憶里才會多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。學習參考
范文總結(jié)相關推薦
鄂ICP備17016276號-1