平面幾何中幾個重要定理的證明-資料下載頁
2025-06-19 22:03本頁面
【正文】 PF．又因為Q/PF =PQ/F/，即Q/PF =MQ/F/．所以有MDF/ =MQ/F/．這說明Q/、D、F/、M四點共圓，即得MF/Q/ =Q/DM．因為MF/Q/ =MFP，所以MFP =Q/DM．而MFP =EDM，所以EDM =Q/DM．這說明點Q與點Q/重合，即得PM = MQ．此定理還可用解析法來證明：想法：設(shè)法證明直線DE和CF在x軸上的截距互為相反數(shù)．證：以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，M點是坐標(biāo)原點．設(shè)直線DE、CF的方程分別為x = m1 y + n 1，x = m2 y + n 2；直線CD、EF的方程分別為 y = k1 x ，y = k2 x ．則經(jīng)過C、D、E、F四點的曲線系方程為 (y –k1 x )(y –k2 x)+(x –m1 y–n1)(x –m2 y –n2)=0．整理得 (+k1k2)x 2+(1+m1m2)y 2–[(k1+k2)+(m1+m2)]xy –(n1+n2)x+(n1m2+n2m1)y+n1n2=0．由于C、D、E、F四點在一個圓上，說明上面方程表示的是一個圓，所以必須 + k1 k2 = 1 +m1 m2 ≠ 0，且 (k1+k2)+(m1+m2)=0．若=0，則k1k2=1，k1+k2=0，這是不可能的，故≠0；又y軸是弦AB的垂直平分線，則圓心應(yīng)落在y軸上，故有( n1 + n2 ) = 0，從而得n1 + n2 = 0．這說明直線DE、CF在x軸上的截距互為相反數(shù)，即得PM = MQ．注：利用曲線系方程解題是坐標(biāo)法的一大特點，它可以較好地解決直線與曲線混雜在一起的問題．如本題，四條直線方程一經(jīng)組合就魔術(shù)般地變成了圓方程，問題瞬息間得以解決，真是奇妙．運用它解題，不拘泥于小處，能夠從整體上去考慮問題．另外，待定系數(shù)法在其中扮演了非常重要的角色，需注意掌握其用法．8
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