初等數(shù)論中的幾個(gè)重要定理-資料下載頁(yè)
2025-07-25 13:50本頁(yè)面
【正文】 本題若不直接使用素?cái)?shù)，也中以采用下面的變異方法：由費(fèi)爾馬數(shù)兩兩互素，故將①中的轉(zhuǎn)化為后，相應(yīng)的同余式也有解，同樣可以導(dǎo)出證明。例7．證明：對(duì)于任意給定的正整數(shù)，均有連續(xù)個(gè)正整數(shù)，其中每一個(gè)都不是冪數(shù)。分析：我們來(lái)證明，存在連續(xù)個(gè)正整數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)都至少有一個(gè)素因子，在這個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解中僅出現(xiàn)一次，從而這個(gè)數(shù)不是冪數(shù)。證明：取個(gè)互不相同的素?cái)?shù)，考慮同余組因?yàn)轱@然是兩兩互素的，故由中國(guó)剩余定理知，上述同余組有正整數(shù)解。對(duì)于因?yàn)?，故，但由①式可知，即在的?biāo)準(zhǔn)分解中恰好出現(xiàn)一次，故都不是冪數(shù)。例8． 設(shè)是給定的偶數(shù)，且是偶數(shù)。證明：存在整數(shù)使得，且。證明：我們先證明，當(dāng)為素?cái)?shù)冪時(shí)結(jié)論成立。實(shí)際上，能夠證明，存在使且：若，則條件表明為偶數(shù)，此時(shí)可?。蝗?，則與中有一對(duì)滿(mǎn)足要求。一般情形下，設(shè)是的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分解，上面已經(jīng)證明，對(duì)每個(gè)存在整數(shù)使得且，而由中國(guó)剩余定理，同余式 ①有解，同余式 ②有解?，F(xiàn)不難驗(yàn)證解符合問(wèn)題中的要求：因，故 ，于是，又由①②知，故。注：此題的論證表現(xiàn)了中國(guó)剩余定理最為基本的作用：將一個(gè)關(guān)于任意正整數(shù)的問(wèn)題，化為為素?cái)?shù)冪的問(wèn)題，而后者往往是比較好處理的。
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