經(jīng)典極坐標(biāo)與參數(shù)方程資料綜合測試題含答案資料-資料下載頁
2025-06-19 07:59本頁面
【正文】 ．【解答】（1）θ為參數(shù)）（2）：設(shè)A（ρ0，θ0），且滿足ρ0=2cosθ0，B（ρ，θ），依題意，即代入ρ0=2cosθ0并整理得，，所以點B的軌跡方程為，． 13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：（φ為參數(shù)，實數(shù)a＞0），曲線C2：（φ為參數(shù)，實數(shù)b＞0）．在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）與C1交于O、A兩點，與C2交于O、B兩點．當(dāng)α=0時，|OA|=1；當(dāng)α=時，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|?|OB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由曲線C1：（φ為參數(shù)，實數(shù)a＞0），化為普通方程為（x﹣a）2+y2=a2，展開為：x2+y2﹣2ax=0，其極坐標(biāo)方程為ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由題意可得當(dāng)θ=0時，|OA|=ρ=1，∴a=．曲線C2：（φ為參數(shù)，實數(shù)b＞0），化為普通方程為x2+（y﹣b）2=b2，展開可得極坐標(biāo)方程為ρ=2bsinθ，由題意可得當(dāng)時，|OB|=ρ=2，∴b=1．（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分別為ρ=cosθ，ρ=2sinθ．∴2|OA|2+|OA|?|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=+1，∵2θ+∈，∴+1的最大值為+1，當(dāng)2θ+=時，θ=時取到最大值． 14．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1：（a為參數(shù)）經(jīng)過伸縮變換后的曲線為C2，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（Ⅰ）求C2的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)曲線C3的極坐標(biāo)方程為ρsin（﹣θ）=1，且曲線C3與曲線C2相交于P，Q兩點，求|PQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），普通方程為（x′﹣1）2+y′2=1，∴C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）為圓心，2為半徑的圓，曲線C3的極坐標(biāo)方程為ρsin（﹣θ）=1，直角坐標(biāo)方程為x﹣y﹣2=0，∴圓心到直線的距離d==，∴|PQ|=2=． 15．已知半圓C的參數(shù)方程為，a為參數(shù)，a∈[﹣，]．（Ⅰ）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求半圓C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)T是半圓C上一點，且OT=，試寫出T點的極坐標(biāo)．【解答】解：（Ⅰ）由半圓C的參數(shù)方程為，a為參數(shù)，a∈[﹣，]，則圓的普通方程為x2+（y﹣1）2=1（0≤x≤1），由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得半圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，]；（Ⅱ）由題意可得半圓C的直徑為2，設(shè)半圓的直徑為OA，則sin∠TAO=，由于∠TAO∈[0，]，則∠TAO=，由于∠TAO=∠TOX，所以∠TOX=，T點的極坐標(biāo)為（，）． 16．已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）求C1與C2交點的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π）【解答】解：（Ⅰ）曲線C1的參數(shù)方程式（t為參數(shù)），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即為圓C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即為C1的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ化為直角坐標(biāo)方程為：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1與C2交點的極坐標(biāo)分別為（，），（2，）．
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