極坐標與參數(shù)方程綜合運用題型(一)-資料下載頁
2025-03-25 04:37本頁面
【正文】 θ+cosθ|，|PA|?|PB|=1∴=，θ∈[0，]，當θ=時，的最小值．8．已知曲線C的極坐標方程是ρ=1，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)）．（1）寫出直線l與曲線C的直角坐標方程；（2）設曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲線C′，設曲線C′上任一點為M（x，y），求的最小值．解：（1）直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)）．由上式化簡成t=2（x﹣1）代入下式得根據(jù)ρ2=x2+y2，進行化簡得C：x2+y2=1（2分）（2）∵代入C得∴（5分）設橢圓的參數(shù)方程為參數(shù)）（7分）則則的最小值為﹣4．（10分）9．在平面直角坐標系中，曲線C1的參數(shù)方程為（?為參數(shù)），以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點的圓，射線與曲線C2交于點．（1）求曲線C1，C2的普通方程；（2），是曲線C1上的兩點，求的值．解：（1）曲線C1的參數(shù)方程為（?為參數(shù)），普通方程為．曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過極點的圓，射線與曲線C2交于點，曲線C2的普通方程為（x﹣2）2+y2=4（2）曲線C1的極坐標方程為，所以=+=10．已知平面直角坐標系xoy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C1方程為ρ=2sinθ；C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．（Ⅰ）寫出曲線C1的直角坐標方程和C2的普通方程；（Ⅱ）設點P為曲線C1上的任意一點，求點P 到曲線C2距離的取值范圍．解：（I）曲線C1方程為ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，可得x2+y2=2y，∴C1的直角坐標方程：x2+（y﹣1）2=1，C2的參數(shù)方程為，消去參數(shù)t可得：C2的普通方程：．…（4分）（II）由（I）知，C1為以（0，1）為圓心，r=1為半徑的圓，C1的圓心（0，1）到C2的距離為，則C1與C2相交，P到曲線C2距離最小值為0，最大值為，則點P到曲線C2距離的取值范圍為．…（10分）11．已知直線的方程為y=x+4，圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），以原點為極點，x軸正半軸為極軸．建立極坐標系．（Ⅰ）求直線與圓C的交點的極坐標；（Ⅱ）若P為圓C上的動點．求P到直線的距離d的最大值．解：（I）由圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），化為：x2+（y﹣2）2=4，聯(lián)立，解得或．可得極坐標分別為：，．（II）圓心（0，2）到直線l的距離=，∴P到直線l的距離d的最大值為+r=+2．12．在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，并在兩坐標系中取相同的長度單位．已知曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，α為直線的傾斜角）．（I）寫出直線的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（Ⅱ）若直線與曲線C有唯一的公共點，求角α的大?。猓海á瘢┊敃r，直線l的普通方程為x=﹣1；當時，直線l的普通方程為y=（tanα）（x+1）．…（2分）由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，所以x2+y2=2x，即為曲線C的直角坐標方程．…（4分）（Ⅱ）把x=﹣1+tcosα，y=tsinα代入x2+y2=2x，整理得t2﹣4tcosα+3=0．由△=16cos2α﹣12=0，得，所以或，故直線l傾斜角α為或．…（10分）13．在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲線C的直角坐標方程；（2）在曲線C上求一點D，使它到直線：，（t為參數(shù)，t∈R）的距離最短，并求出點D的直角坐標．解：（1）曲線C的極坐標方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ，化為x2+y2﹣2y=0，配方為x2+（y﹣1）2=1．（2）曲線C的圓心C（0，1），半徑r=1．直線l：，（t為參數(shù)，t∈R）化為普通方程：﹣y﹣1=0，可得圓心C到直線l的距離d==1=0，∴直線l與圓C相切，其切點即為所求．聯(lián)立，解得D．
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