極坐標(biāo)與參數(shù)方程綜合運(yùn)用題型(一)-wenkub
2023-04-09 04:37:02 本頁面
【正文】 坐標(biāo)為或． 由于點(diǎn)到直線的距離最短，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為． 3．已知曲線C1：，（α為參數(shù)），C2：，（θ為參數(shù)）（Ⅰ）化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；（Ⅱ）若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為α=，Q為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C3：，（t為參數(shù)）距離的最小值及此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)．解：（Ⅰ）據(jù)題，由曲線C1：，（α為參數(shù)），得（x+4）2+（y﹣3）2=1，它表示一個(gè)以（﹣4，3）為圓心，以1為半徑的圓，由C2：，（θ為參數(shù)）得，它表示一個(gè)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為8，短半軸長(zhǎng)為3的橢圓，（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ），由直線C3：，（t為參數(shù)），得x﹣2y﹣7=0，它表示一條直線，M到該直線的距離為：d==|5cos（θ+Φ）﹣13|，（其中sinΦ=，cosΦ=），當(dāng)cos（θ+Φ）=1時(shí)，d取最小值，從而，當(dāng)sinΦ=﹣，cosΦ=，時(shí)，d有最小值，此時(shí)，點(diǎn)Q（，﹣）．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1．在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C（，），半徑r=．（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線交圓C于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍．解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐標(biāo)為（1，1），∴圓C的方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化為極坐標(biāo)方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0（Ⅱ）將代入圓C的直角坐標(biāo)方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1?t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍是[2，2）2．在以直角坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系下，曲線C1的方程是ρ=1，將C1向上平移1個(gè)單位得到曲線C2．（Ⅰ）求曲線C2的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若曲線C1的切線交曲線C2于不同兩點(diǎn)M，N，切點(diǎn)為T，求|TM|?|TN|的取值范圍．解：（I）曲線C1的方程是ρ=1，即ρ2=1，化為x2+y2=1，將C1向上平移1個(gè)單位得到曲線C2：x2+（y﹣1）2=1，展開為x2+y2﹣2y=0．則曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（II）設(shè)T（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]．切線的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），代入C2的方程化為：t2+2t[cos（θ﹣α）﹣sinα]+1﹣2sinθ=0，∴t1t2=1﹣2sinθ，∴|TM|?|TN|=|t1t2|=|1﹣2sinθ|∈[0，1]，∴|TM|?|TN|的取值范圍是[0，1]．3．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，⊙C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ.(1)寫出⊙C的直角坐標(biāo)方程；(2)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P到圓心C的距離最小時(shí)，求P的直角坐標(biāo)．解：(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，從而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3.(2)設(shè)P，又C(0，)，則|PC|＝＝，故當(dāng)t＝0時(shí)，|PC|取得最小值，此時(shí)，P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3，0)．4．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為：（φ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．（1）求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)M是曲線C1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是曲線C2上任意一點(diǎn)，求|MN|的取值范圍．解：（1）由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，∴（x﹣1）2+y2=1，（2）設(shè)點(diǎn)M（4cosφ，3sinφ），則|MC2|﹣1≤|MN|≤|MC2|+1，|MC2|2=（4cosφ﹣1）2+9sin2φ=7cos2φ﹣8cosφ+10，
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