極坐標(biāo)與參數(shù)方程綜合運(yùn)用題型(一)-在線瀏覽
2025-05-12 04:37本頁面
【正文】 心（0，2）到直線l的距離=，∴P到直線l的距離d的最大值為+r=+2．12．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，α為直線的傾斜角）．（I）寫出直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線與曲線C有唯一的公共點(diǎn)，求角α的大?。猓海á瘢┊?dāng)時(shí)，直線l的普通方程為x=﹣1；當(dāng)時(shí)，直線l的普通方程為y=（tanα）（x+1）．…（2分）由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，所以x2+y2=2x，即為曲線C的直角坐標(biāo)方程．…（4分）（Ⅱ）把x=﹣1+tcosα，y=tsinα代入x2+y2=2x，整理得t2﹣4tcosα+3=0．由△=16cos2α﹣12=0，得，所以或，故直線l傾斜角α為或．…（10分）13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）在曲線C上求一點(diǎn)D，使它到直線：，（t為參數(shù)，t∈R）的距離最短，并求出點(diǎn)D的直角坐標(biāo)．解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ，化為x2+y2﹣2y=0，配方為x2+（y﹣1）2=1．（2）曲線C的圓心C（0，1），半徑r=1．直線l：，（t為參數(shù)，t∈R）化為普通方程：﹣y﹣1=0，可得圓心C到直線l的距離d==1=0，∴直線l與圓C相切，其切點(diǎn)即為所求．聯(lián)立，解得D．14。極坐標(biāo)與參數(shù)方程綜合運(yùn)用題型(一)【題型分析】題型一 圓上的點(diǎn)到直線距離的最值【例1】已知曲線C1的參數(shù)方程為曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos（θ﹣），以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)M到直線C1的距離的最大值．解：（Ⅰ）即ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），∴x2+y2﹣2x﹣2y=0，故C2的直角坐標(biāo)方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）∵曲線C1的參數(shù)方程為，∴C1的直角坐標(biāo)方程為，由（Ⅰ）知曲線C2是以（1，1）為圓心的圓，且圓心到直線C1的距離，∴動(dòng)點(diǎn)M到曲線C1的距離的最大值為【變式實(shí)踐1】1．已知曲線C1：，曲線：（t為參數(shù)）（I）化C1為直角坐標(biāo)方程，化C2為普通方程；（II）若M為曲線C2與x軸的交點(diǎn)，N為曲線C1上一動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最大值．解：（I）曲線C1的極坐標(biāo)化為ρ2=2ρsinθ，又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程x2+y2﹣2y=0，因?yàn)榍€C2的參數(shù)方程是，消去參數(shù)t得曲線C2的普通方程4x+3y﹣8=0（II）因?yàn)榍€C2為直線，令y=0，得x=2，即M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）曲線C1為圓，其圓心坐標(biāo)為C1（0，1），半徑r=1，則∴ ，|MN|的最大值為2．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與x軸的正半軸重合，直線的極坐標(biāo)方程為：，曲線C的參數(shù)方程為：（α為參數(shù)）．（I）寫出直線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）求曲線C上的點(diǎn)到直線的距離的最大值．解：（1）∵直線l的極坐標(biāo)方程為：，∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，∴，∴x﹣y+1=0．（2）根據(jù)曲線C的參數(shù)方程為：（α為參數(shù)）．得（x﹣2）2+y2=4，它表示一個(gè)以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓，圓心到直線的距離為：d=，∴曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最大值=．3．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程是（t是參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，Ox為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為．（1）求圓心C的直角坐標(biāo)；（2）由直線上的點(diǎn)向圓C引切線，求切線長的最小值．解：（1）由圓C的極坐標(biāo)方程ρ=2cos（θ+），化為，展開為ρ2=，化為x2+y2=．平方為=1，∴圓心為．（2）由直
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