極坐標(biāo)與參數(shù)方程綜合運用題型(一)(已修改)
2025-04-06 04:37 本頁面
【正文】 極坐標(biāo)與參數(shù)方程綜合運用題型(一)【題型分析】題型一 圓上的點到直線距離的最值【例1】已知曲線C1的參數(shù)方程為曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos（θ﹣），以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線C2上的動點M到直線C1的距離的最大值．解：（Ⅰ）即ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），∴x2+y2﹣2x﹣2y=0，故C2的直角坐標(biāo)方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）∵曲線C1的參數(shù)方程為，∴C1的直角坐標(biāo)方程為，由（Ⅰ）知曲線C2是以（1，1）為圓心的圓，且圓心到直線C1的距離，∴動點M到曲線C1的距離的最大值為【變式實踐1】1．已知曲線C1：，曲線：（t為參數(shù)）（I）化C1為直角坐標(biāo)方程，化C2為普通方程；（II）若M為曲線C2與x軸的交點，N為曲線C1上一動點，求|MN|的最大值．解：（I）曲線C1的極坐標(biāo)化為ρ2=2ρsinθ，又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ所以曲線C1的直角坐標(biāo)方程x2+y2﹣2y=0，因為曲線C2的參數(shù)方程是，消去參數(shù)t得曲線C2的普通方程4x+3y﹣8=0（II）因為曲線C2為直線，令y=0，得x=2，即M點的坐標(biāo)為（2，0）曲線C1為圓，其圓心坐標(biāo)為C1（0，1），半徑r=1，則∴ ，|MN|的最大值為2．已知極坐標(biāo)系的極點在直角坐標(biāo)系的原點處，極軸與x軸的正半軸重合，直線的極坐標(biāo)方程為：，曲線C的參數(shù)方程為：（α為參數(shù)）．（I）寫出直線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）求曲線C上的點到直線的距離的最大值．解：（1）∵直線l的極坐標(biāo)方程為：，∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，∴，∴x﹣y+1=0．（2）根據(jù)曲線C的參數(shù)方程為：（α為參數(shù)）．得（x﹣2）2+y2=4，它表示一個以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓，圓心到直線的距離為：d=，∴曲線C上的點到直線l的距離的最大值=．3．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程是（t是參數(shù)），以原點O為極點，Ox為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為．（1）求圓心C的直角坐標(biāo)；（2）由直線上的點向圓C引切線，求切線長的最小值．解：（1）由圓C的極坐標(biāo)方程ρ=2cos（θ+），化為，展開為ρ2=，化為x2+y2=．平方為=1，∴圓心為．（2）由直線l上的點向圓C引切線長==≥5，∴由直線l上的點向圓C引切線長的最小值為5．題型二 利用三角函數(shù)求最值【例2】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x－y＋4＝0，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．(1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，點P的極坐標(biāo)為，判斷點P與直線l的位置關(guān)系；(2)設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．解：(1)把極坐標(biāo)系下的點P化為直角坐標(biāo)得P(0,4)，∵P(0,4)滿足方程x－y＋4＝0，∴點P在直線l上．(2)因為點Q是曲線C上的點，故可設(shè)點Q的坐標(biāo)為(cos α，sin α)，所以點Q 到直線l的距離d＝＝(α∈R)則當(dāng)cos＝－1時，d取得最小值.【變式實踐2】1．在直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為： (α為參數(shù))，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并取與直角坐標(biāo)系相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為：.(1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若P，Q分別是曲線C1和C2上的任意一點，求|PQ|的最小值．解：(1)∵ρ＝cos θ，∴x2＋y2＝x，即(x－)2＋y2＝.(2)設(shè)P(2cos α，sin α)，易知C2(，0)，∴|PC2|＝＝＝ ，當(dāng)cos α＝時，|PC2|取得最小值，|PC2|min＝，∴|PQ|min＝.2．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為，直線l的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出曲線C1與直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)Q為曲線C1上一
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