高中數(shù)學極坐標與參數(shù)方程大題詳解資料(已修改)
2025-04-16 05:13 本頁面
【正文】 參數(shù)方程極坐標系解答題1．已知曲線C：+=1，直線l：（t為參數(shù)）（Ⅰ）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程．（Ⅱ）過曲線C上任意一點P作與l夾角為30176。的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值．考點：參數(shù)方程化成普通方程；直線與圓錐曲線的關系．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：坐標系和參數(shù)方程．分析：（Ⅰ）聯(lián)想三角函數(shù)的平方關系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲線C的參數(shù)方程，直接消掉參數(shù)t得直線l的普通方程；（Ⅱ）設曲線C上任意一點P（2cosθ，3sinθ）．由點到直線的距離公式得到P到直線l的距離，除以sin30176。進一步得到|PA|，化積后由三角函數(shù)的范圍求得|PA|的最大值與最小值．解答：解：（Ⅰ）對于曲線C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲線C的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)）．對于直線l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）設曲線C上任意一點P（2cosθ，3sinθ）．P到直線l的距離為．則，其中α為銳角．當sin（θ+α）=﹣1時，|PA|取得最大值，最大值為．當sin（θ+α）=1時，|PA|取得最小值，最小值為．點評：本題考查普通方程與參數(shù)方程的互化，訓練了點到直線的距離公式，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題． 2．已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與x軸的正半軸重合，直線l的極坐標方程為：，曲線C的參數(shù)方程為：（α為參數(shù)）．（I）寫出直線l的直角坐標方程；（Ⅱ）求曲線C上的點到直線l的距離的最大值．考點：參數(shù)方程化成普通方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：坐標系和參數(shù)方程．分析：（1）首先，將直線的極坐標方程中消去參數(shù)，化為直角坐標方程即可；（2）首先，化簡曲線C的參數(shù)方程，然后，根據(jù)直線與圓的位置關系進行轉化求解．解答：解：（1）∵直線l的極坐標方程為：，∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，∴，∴x﹣y+1=0．（2）根據(jù)曲線C的參數(shù)方程為：（α為參數(shù)）．得（x﹣2）2+y2=4，它表示一個以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓，圓心到直線的距離為：d=，∴曲線C上的點到直線l的距離的最大值=．點評：本題重點考查了直線的極坐標方程、曲線的參數(shù)方程、及其之間的互化等知識，屬于中檔題． 3．已知曲線C1：（t為參數(shù)），C2：（θ為參數(shù)）．（1）化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；（2）若C1上的點P對應的參數(shù)為t=，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：（t為參數(shù)）距離的最小值．考點：圓的參數(shù)方程；點到直線的距離公式；直線的參數(shù)方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有專題：計算題；壓軸題；轉化思想．分析：（1）分別消去兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)得到兩曲線的普通方程，即可得到曲線C1表示一個圓；曲線C2表示一個橢圓；（2）把t的值代入曲線C1的參數(shù)方程得點P的坐標，然后把直線的參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)曲線C2的參數(shù)方程設出Q的坐標，利用中點坐標公式表示出M的坐標，利用點到直線的距離公式表示出M到已知直線的距離，利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡后，利用正弦函數(shù)的值域即可得到距離的最小值．解答：解：（1）把曲線C1：（t為參數(shù)）化為普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲線表示的曲線為圓心（﹣4，3），半徑1的圓；把C2：（θ為參數(shù)）化為普通方程得：+=1，所以此曲線方程表述的曲線為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸為8，短半軸為3的橢圓；（2）把t=代入到曲線C1的參數(shù)方程得：P（﹣4，4），把直線C3：（t為參數(shù)）化為普通方程得：x﹣2y﹣7=0，設Q的坐標為Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直線的距離d==，（其中sinα=，cosα=）從而當cosθ=，sinθ=﹣時，d取得最小值．點評：此題考查學生理解并運用直線和圓的參數(shù)方程解決數(shù)學問題，靈活運用點到直線的距離公式及中點坐標公式化簡求值，是一道綜合題． 4．在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立直角坐標系，圓C的極坐標方程為，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），
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