軌跡方程的幾種求法整理例題答案-資料下載頁
2025-06-18 23:07本頁面
【正文】 y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得.五、交軌法一般用于求二動曲線交點(diǎn)的軌跡方程．其過程是選出一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)，求出二動曲線的方程或動點(diǎn)坐標(biāo)適合的含參數(shù)的等式，再消去參數(shù)，即得所求動點(diǎn)軌跡的方程． 已知兩點(diǎn)以及一條直線：y=x，設(shè)長為的線段AB在直線上移動，求直線PA和QB交點(diǎn)M的軌跡方程．解：PA和QB的交點(diǎn)M（x，y）隨A、B的移動而變化，故可設(shè)，則PA：QB：消去t，得當(dāng)t=－2，或t=－1時(shí)，PA與QB的交點(diǎn)坐標(biāo)也滿足上式，所以點(diǎn)M的軌跡方程是以上是求動點(diǎn)軌跡方程的主要方法，也是常用方法，如果動點(diǎn)的運(yùn)動和角度有明顯的關(guān)系，還可考慮用復(fù)數(shù)法或極坐標(biāo)法求軌跡方程．但無論用何方法，都要注意所求軌跡方程中變量的取值范圍．自拋物線y2＝2x上任意一點(diǎn)P向其準(zhǔn)線l引垂線，垂足為Q，連結(jié)頂點(diǎn)O與P的直線和連結(jié)焦點(diǎn)F與Q的直線交于R點(diǎn)，求R點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)P（x1，y1）、R（x，y），則Q（－，y1）、F（，0），∴OP的方程為y=x， ①FQ的方程為y=－y1（x－）. ②由①②得x1＝，y1＝，代入y2＝2x，可得y2＝－2x2+x. 六、待定系數(shù)法當(dāng)曲線（圓、橢圓、雙曲線以及拋物線）的形狀已知時(shí)，一般可用待定系數(shù)法解決.已知Ａ，Ｂ，Ｄ三點(diǎn)不在一條直線上，且，，．（1）求點(diǎn)軌跡方程；（2）過作直線交以為焦點(diǎn)的橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)到軸的距離為，且直線與點(diǎn)的軌跡相切，求橢圓方程． 解：（1）設(shè)，由知為中點(diǎn)，易知． 又，則． 即點(diǎn)軌跡方程為； ?。?）設(shè)，中點(diǎn)． 由題意設(shè)橢圓方程為，直線方程為． 直線與點(diǎn)的軌跡相切， ，解得． 將代入橢圓方程并整理，得， ， 又由題意知，即，解得．故所求的橢圓方程為．已知圓C1的方程為(x－2)2+(y－1)2=,橢圓C2的方程為=1(a＞b＞0)，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程..解：由e=,可設(shè)橢圓方程為=1,又設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2,又=1,兩式相減，得=0,即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)==－1,故直線AB的方程為y=－x+3,代入橢圓方程得3x2－12x+18－2b2=0.有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=,得，解得b2=8.故所求橢圓方程為=1.已知直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線上.（１）求此橢圓的離心率；（2 ）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的在圓上，求此橢圓的方程. 講解:（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 得, 根據(jù)韋達(dá)定理，得 ∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）. 由已知得 故橢圓的離心率為 . （2）由（1）知從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為解得 由已知得 故所求的橢圓方程為 .13
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