華師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教案：1922菱形的判定與性質(zhì)同步訓(xùn)練含答案-資料下載頁(yè)
2025-06-18 20:50本頁(yè)面
【正文】 定E點(diǎn)的位置，使得∠EFD=∠BCD，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)： 菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題： 壓軸題．分析： （1）首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再證明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，進(jìn)而得到∠AFD=∠CFE；（2）首先證明∠CAD=∠ACD，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得AD=CD，再有條件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四邊形ABCD是菱形；（3）首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根據(jù)BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90176。，進(jìn)而得到∠EFD=∠BCD．解答： （1）證明：在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴∠AFD=∠AFB，∵∠AFB=∠CFE，∴∠AFD=∠CFE；（2）證明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，又∵∠BAC=∠DAC，∴∠CAD=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形；（3）當(dāng)EB⊥CD時(shí)，即E為過(guò)B且和CD垂直時(shí)垂線的垂足，∠EFD=∠BCD，理由：∵四邊形ABCD為菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，在△BCF和△DCF中，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90176。，∴∠EFD=∠BCD．點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．18．已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN．（1）將兩個(gè)矩形疊合成如圖10，求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若菱形ABCD的周長(zhǎng)為20，BE=3，求矩形BEDG的面積．考點(diǎn)： 菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．分析： （1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根據(jù)題意先證出四邊形ABCD是平行四邊形，再由BC=CD得平行四邊形ABCD是菱形；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AE的長(zhǎng)，再利用矩形面積公式求出即可．解答： （1）答：四邊形ABCD是菱形．證明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由題意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN，∴兩個(gè)矩形全等，∴AR=AS，∵AR?BC=AS?CD，∴BC=CD，∴平行四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為20，∴AD=AB=BC=CD=5，∵BE=3，∴AE=4，∴DE=5+4=9，∴矩形BEDG的面積為：39=27．點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點(diǎn)M，與BD相交于點(diǎn)O，與BD相交于點(diǎn)N，連接MB，ND．（1）求證：四邊形BMDN是菱形；（2）若AB=1，AD=2，求MD的長(zhǎng)．考點(diǎn)： 菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．分析： （1）根據(jù)矩形性質(zhì)求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，證△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四邊形BMDN，推出菱形BMDN；（2）根據(jù)菱形性質(zhì)求出DM=BM，在Rt△AMB中，根據(jù)勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=x2﹣32x+256+64，求出即可．解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥BC，∠A=90176。，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，在△DMO和△BNO中，∴△DMO≌△BNO（ASA），∴OM=ON，∵OB=OD，∴四邊形BMDN是平行四邊形，∵M(jìn)N⊥BD，∴平行四邊形BMDN是菱形．（2）解：∵四邊形BMDN是菱形，∴MB=MD，在Rt△AMB中，∵BM2=AM2+AB2∴MD2=（2﹣MD）2+12，解得：MD=（舍去負(fù)值），即：MD長(zhǎng)為．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了矩形性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．20．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD、AC、BC于點(diǎn)E、O、F，連接CE和AF．（1）證明：四邊形AECF為菱形；（2）若AB=1，BC=3，求菱形AECF的邊長(zhǎng)．考點(diǎn)： 菱形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．分析： （1）求出AO=OC，∠AOE=∠COF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EAO=∠FCO，根據(jù)ASA推出：△AEO≌△CFO；根據(jù)全等得出OE=OF，推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)EF⊥AC即可推出四邊形是菱形；（2）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AF=CF，設(shè)AF=x，推出AF=CF=x，BF=3﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程62+（8﹣x）2=x2，求出即可．解答： （1）證明：∵EF是AC的垂直平分線，∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90176。，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AEO和△CFO中，∴△AEO≌△CFO（ASA）；∴OE=OF又∵OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵EF⊥AC∴平行四邊形AECF是菱形；（2）解：設(shè)AF=x，∵EF是AC的垂直平分線，∴AF=CF=x，BF=3﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，12+（3﹣x）2=x2，解得 x=．即菱形AECF的邊長(zhǎng)是．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了勾股定理，矩形性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，用了方程思想．
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