函數(shù)模型及其應(yīng)用-資料下載頁
2025-06-18 20:22本頁面
【正文】 則每欄的高和寬分別為x－20，其中x＞20，y＞25兩欄面積之和為2(x－20),由此得y=廣告的面積S=xy=x()＝x,整理得S=因?yàn)閤－20＞0，所以S≥2當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，即當(dāng)x=140，y＝175時，S取得最小值24500，故當(dāng)廣告的高為140 cm，寬為175 cm時，可使廣告的面積最小.點(diǎn)評：本題主要考查運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和方法解決實(shí)際問題的能力。以及函數(shù)概念、性質(zhì)和不等式證明的基本方法。題型6：指數(shù)、對數(shù)型函數(shù)例11．有一個湖泊受污染，其湖水的容量為V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量?，F(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)平衡，且污染物和湖水均勻混合用，表示某一時刻一立方米湖水中所含污染物的克數(shù)（我們稱其湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)），表示湖水污染初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)。（1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時，求湖水污染初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；（2）分析時，湖水的污染程度如何。解析： （1）設(shè)，因?yàn)闉槌?shù)，即，則；（2）設(shè)，=因?yàn)?。污染越來越?yán)重。點(diǎn)評：通過研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解釋實(shí)際問題。我們要掌握底數(shù)兩種基本情況下函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性和值域的差別，它能幫我們解釋具體問題。譬如向題目中出現(xiàn)的“污染越來越嚴(yán)重”還是“污染越來越輕”例12．現(xiàn)有某種細(xì)胞100個，其中有占總數(shù)的細(xì)胞每小時分裂一次，即由1個細(xì)胞分裂成2個細(xì)胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時，細(xì)胞總數(shù)可以超過個？（參考數(shù)據(jù)：）.解析：現(xiàn)有細(xì)胞100個，先考慮經(jīng)過4個小時后的細(xì)胞總數(shù)， 1小時后，細(xì)胞總數(shù)為；2小時后，細(xì)胞總數(shù)為；3小時后，細(xì)胞總數(shù)為；4小時后，細(xì)胞總數(shù)為；可見，細(xì)胞總數(shù)與時間（小時）之間的函數(shù)關(guān)系為： ，由，得，兩邊取以10為底的對數(shù)，得，∴， ∵，∴. 答：經(jīng)過46小時，細(xì)胞總數(shù)超過個。[來源:學(xué)科網(wǎng)]點(diǎn)評：對于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)要熟練應(yīng)用近似計(jì)算的知識，來對事件進(jìn)行合理的解析。（2008廣東文17）（本小題滿分12分）某單位用2160萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用＝）【解析】設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為f（x）元，則 , 令 得 當(dāng) 時， ；當(dāng) 時，因此 當(dāng)時，f（x）取最小值；答：為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層。五．【思維總結(jié)】1．將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的增長差異，結(jié)合實(shí)例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。2．怎樣選擇數(shù)學(xué)模型分析解決實(shí)際問題數(shù)學(xué)應(yīng)用問題形式多樣，解法靈活。在應(yīng)用題的各種題型中，有這樣一類題型：信息由表格數(shù)據(jù)的形式給出，要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化處理，建立數(shù)學(xué)模型，解答有關(guān)的實(shí)際問題。解答此類題型主要有如下三種方法：（1）直接法：若由題中條件能明顯確定需要用的數(shù)學(xué)模型，或題中直接給出了需要用的數(shù)學(xué)模型，則可直接代入表中的數(shù)據(jù)，問題即可獲解；（2）列式比較法：若題所涉及的是最優(yōu)化方案問題，則可根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)先列式，然后進(jìn)行比較；（3）描點(diǎn)觀察法：若根據(jù)題設(shè)條件不能直接確定需要用哪種數(shù)學(xué)模型，則可根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行描點(diǎn)，作出散點(diǎn)圖，然后觀察這些點(diǎn)的位置變化情況，確定所需要用的數(shù)學(xué)模型，問題即可順利解決。下面舉例進(jìn)行說
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