計算方法習(xí)題集及答案-資料下載頁
2025-06-18 19:22本頁面
【正文】 滿足上述條件的多步方法即為一類三步四階顯示方法，令可得 方法即為3． 形如的k階方法稱為Gear方法，試確定一個三步Gear方法，并給出其截斷誤差主項。解：線性k步公式為 由Gear法的定義知，三步Gear法滿足方法為階，故有得：取得得三步Gear方法：其中 4． 試用顯式Euler法及改進的Euler法計算初值問題（取步長h=）并比較兩者的誤差。解：步長 , 真解 顯式法： 改進法： 顯然改進的法誤差小于法。5． 給出線性多步法為零穩(wěn)定的條件，并證明該方法為零穩(wěn)定時是二階收斂的.證明： 線性多步法 的相應(yīng)多項式 多項式的兩根為：。 由判斷零穩(wěn)定的充要條件 根條件 知：此方法的零穩(wěn)定的條件為 由于 ， ， 得： 當(dāng)方法為零穩(wěn)定時 ，從而，故 方法是二階收斂的。6． 給出題()題中時的公式的絕對穩(wěn)定域.解： ，即為方法 其相應(yīng)的差分方程的多項式為 令 ，即方法的絕對穩(wěn)定域為 7． 指出Heun方法00001/31/3002/302/301/403/4的相容階，并給出由該方法以步長h計算初值問題()的步驟.解：法 中對方法有 類似例將方法應(yīng)用到得其中 上述步驟可按如下步驟完成：將原問題初值代入得出當(dāng)前步的， 然后代入，得出，再以，作為第2個計算步的初值重復(fù)上述步驟可求出，依次類推即可求出原問題的相繼數(shù)值序列.經(jīng)驗證方法滿足由方法階相容的充要條件知方法具有三階相容階。8． 試述剛性問題的基本特征，并給出s級RungeKutta方法為A穩(wěn)定的條件.解： 剛性問題的基本特征即對于線性系統(tǒng) 有設(shè)A的特征值為，滿足 級 單步方法用于實驗方程 . 令由得 寫成向量形式 記 則有 即 由得即由穩(wěn)定性知方法穩(wěn)定的充要條件是：穩(wěn)定函數(shù)在上解析且，進一步由只可能在邊界上去的極值的最大模原理，的邊界即為虛軸，得法穩(wěn)定的充要條件是：穩(wěn)定函數(shù)在上解析，且滿足，.9． 設(shè)有，試構(gòu)造形如的二階方法，并推導(dǎo)其局部截斷誤差首項。 10． 設(shè)有常微分方程初值問題的單步法，證明該方法是無條件穩(wěn)定的。
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