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計算方法習題集及答案(參考版)

2025-06-21 19:22本頁面
  

【正文】 10. 設有常微分方程初值問題的單步法,證明該方法是無條件穩(wěn)定的。6. 給出題()題中時的公式的絕對穩(wěn)定域.解: ,即為方法 其相應的差分方程的多項式為 令 ,即方法的絕對穩(wěn)定域為 7. 指出Heun方法00001/31/3002/302/301/403/4的相容階,并給出由該方法以步長h計算初值問題()的步驟.解:法 中對方法有 類似例將方法應用到得其中 上述步驟可按如下步驟完成:將原問題初值代入得出當前步的, 然后代入,得出,再以,作為第2個計算步的初值重復上述步驟可求出,依次類推即可求出原問題的相繼數(shù)值序列.經(jīng)驗證方法滿足由方法階相容的充要條件知方法具有三階相容階。5. 給出線性多步法為零穩(wěn)定的條件,并證明該方法為零穩(wěn)定時是二階收斂的.證明: 線性多步法 的相應多項式 多項式的兩根為:。解:線性k步公式為 由Gear法的定義知,三步Gear法滿足方法為階,故有得:取得得三步Gear方法:其中 4. 試用顯式Euler法及改進的Euler法計算初值問題(取步長h=)并比較兩者的誤差。3. 在區(qū)間上導出含五個節(jié)點的NewtonCotes公式,并指出其余項及代數(shù)精度.解:當時,又 故當時,有求積公式 (*)其中由Lagrange差值定理有:故余項對(*)至少有四次代數(shù)精度時 式(*)左邊=右邊= 時 故(*)式具有5次代數(shù)精度4. 分別用復合梯形公式及復合Simpson公式計算, (取步長h=1/6).解:(1)用復合梯形公式 故 (2)用復合Simpson公式:5. 用變步長梯形求積公式計算, (精確到).解:由 得:6. 用Romberg算法計算積分, (精確到).解:由公式 得: 又即已經(jīng)達到預定精度取7. 試構(gòu)造兩點Gauss公式,并由此計算積分(精確到).解: 二次Lagendre多項式:Gauss點為由公式 得令 即 使得8. 利用正交多項式構(gòu)造三點Gauss型求積公式 并問:(1)所得求積公式的代數(shù)精度是多少?(2)用所得求積公式計算 時截斷誤差是多少?練習六班級 學號姓名1. 試用三種方法導出線性二步方法解:
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