計算方法習題集及答案(參考版)
2025-06-21 19:22本頁面
【正文】 10． 設有常微分方程初值問題的單步法，證明該方法是無條件穩(wěn)定的。6． 給出題()題中時的公式的絕對穩(wěn)定域.解： ，即為方法 其相應的差分方程的多項式為 令 ，即方法的絕對穩(wěn)定域為 7． 指出Heun方法00001/31/3002/302/301/403/4的相容階，并給出由該方法以步長h計算初值問題()的步驟.解：法 中對方法有 類似例將方法應用到得其中 上述步驟可按如下步驟完成：將原問題初值代入得出當前步的， 然后代入，得出，再以，作為第2個計算步的初值重復上述步驟可求出，依次類推即可求出原問題的相繼數(shù)值序列.經(jīng)驗證方法滿足由方法階相容的充要條件知方法具有三階相容階。5． 給出線性多步法為零穩(wěn)定的條件，并證明該方法為零穩(wěn)定時是二階收斂的.證明： 線性多步法 的相應多項式 多項式的兩根為：。解：線性k步公式為 由Gear法的定義知，三步Gear法滿足方法為階，故有得：取得得三步Gear方法：其中 4． 試用顯式Euler法及改進的Euler法計算初值問題（取步長h=）并比較兩者的誤差。3． 在區(qū)間上導出含五個節(jié)點的NewtonCotes公式，并指出其余項及代數(shù)精度.解：當時，又 故當時，有求積公式 （＊）其中由Lagrange差值定理有：故余項對（＊）至少有四次代數(shù)精度時 式（＊）左邊=右邊= 時 故（＊）式具有5次代數(shù)精度4． 分別用復合梯形公式及復合Simpson公式計算, (取步長h=1/6).解：（1）用復合梯形公式 故 （2）用復合Simpson公式：5． 用變步長梯形求積公式計算, (精確到).解：由 得：6． 用Romberg算法計算積分, (精確到).解：由公式 得： 又即已經(jīng)達到預定精度取7． 試構(gòu)造兩點Gauss公式,并由此計算積分(精確到).解： 二次Lagendre多項式：Gauss點為由公式 得令 即 使得8． 利用正交多項式構(gòu)造三點Gauss型求積公式 并問：（1）所得求積公式的代數(shù)精度是多少？（2）用所得求積公式計算 時截斷誤差是多少？練習六班級 學號姓名1． 試用三種方法導出線性二步方法解：
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