【正文】 件組成，其總長(zhǎng)度為此兩部件長(zhǎng)度之和，這兩個(gè)部件長(zhǎng)度分別為X和Y，且相互獨(dú)立，其分布律分別為 X 9 1011, Y 6 7P P 求此儀器總長(zhǎng)度Z的分布律 解： Z=X+Y 首先，寫(xiě)出（X,Y）的聯(lián)合分布律 Y X 6 791011改寫(xiě)為： (x,y)(9,6)(9,7)(10,6)(10,7)(11,6)(11,7)P按隨機(jī)變量函數(shù)概念可救求出Z=X+Y的可能取值，見(jiàn)下表 Z=X+Y151616171718(X,Y)(9,6)(9,7)(10,6)(10,7)(11,6)(11,7)P對(duì)于相同的值進(jìn)行合并，相應(yīng)概率按概率可加性相加，便得Z=X+Y的分布律為Z=X+Y15161718P 167。 連續(xù)型隨機(jī)變量的情況 利用“分布函數(shù)法”求z=g(X,Y)的概率密度，即首先求z的分布函數(shù) 兩邊求導(dǎo)便可得到Z的概率密度。 解：X和Y的概率密度分別為 由于X與Y獨(dú)立，于是（X，Y）的概率密度為 當(dāng)z≤0時(shí)，顯然F2(z)=0對(duì)Z求導(dǎo),使得Z的概率密度 例4：（和的分布）設(shè)（X，Y）的概率密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度。 解：首先求Z的分布函數(shù) 兩邊對(duì)z求導(dǎo)，便得Z的概率密度 特別，當(dāng)X與Y獨(dú)立時(shí)，有Z=X+Y的概率密度： 例5：設(shè)X,Y獨(dú)立同分布于N（0，1），試求Z=X+Y的概率密度 解： 一般，若X,Y獨(dú)立獨(dú)立，且 ，則 推廣：若 相互獨(dú)立，且 則 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征一 數(shù)學(xué)期望年齡 18 19 20 21 ∑ 人數(shù) 5 15 15 5 40 167。例1：全班40名同學(xué)，其年齡與人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：該班同學(xué)的平均年齡為：若令x表示從該班同學(xué)中任選一同學(xué)的年齡，則x的分布律為x 18 19 20 21 p 于是，x取值的平均值，即該班同學(xué)年齡的平均值為定義1：設(shè)x為離散型隨機(jī)變量，其分布律為如果級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則此級(jí)數(shù)為x的數(shù)學(xué)期望（或均值）既為 E(X)，即 E(X)= 意義：E(X)表示X取值的（加權(quán)）平均值例2：甲、乙射手進(jìn)行射擊比賽，設(shè)甲中的環(huán)數(shù)位X1，乙中的環(huán)數(shù)為X2，已知X1和X2的分布律分別為：X1 8 9 10 P X2 8 9 10 P 問(wèn)誰(shuí)的平均中環(huán)數(shù)高？解：甲的平均中環(huán)數(shù)為 E(X1)=8 +9 +10 =乙的平均中環(huán)數(shù)為 E(X2)=8 +9 +10 =可見(jiàn)E(X1) E(X2)，即甲的平均中環(huán)數(shù)高于乙的平均中環(huán)數(shù)。例3：設(shè) ，求E(X)解：由于 ，其分布律為 ，k=0,1,2…,所以例4：，發(fā)方每隔5秒拍發(fā)一次呼喚信號(hào)，直到收到對(duì)方的回答信號(hào)為止，發(fā)出信號(hào)到收到回答信號(hào)之間需經(jīng)16秒鐘，求雙方取得聯(lián)系時(shí)，發(fā)方發(fā)出呼喚信號(hào)的平均數(shù)？X4567… n …P 解：令X表示雙方取得聯(lián)系時(shí)，發(fā)方發(fā)出呼喚信號(hào)的次數(shù)。X的分布律為于是，雙方取得聯(lián)系時(shí)，發(fā)方發(fā)出的呼喚信號(hào)的平均數(shù)為由于 ,求導(dǎo)數(shù)將x=，便得 將此結(jié)果代入原式便得：（次）167。 絕對(duì)收斂，則稱(chēng)此積分為X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)，即 ， 例7：設(shè)風(fēng)速V是一個(gè)隨機(jī)變量，且V~U[0,a]，又設(shè)飛機(jī)的機(jī)翼上所受的壓力W是風(fēng)速V的函數(shù)： 這里a,k均為已知正數(shù)。試求飛機(jī)機(jī)翼上所受的平均壓力E(W)。W的分布函數(shù)為 兩邊求導(dǎo)，使得 進(jìn)而便可求得W的數(shù)學(xué)期望 由此運(yùn)算過(guò)程可以看到，不必求出W的概率密度?w(z)，而根據(jù)V的概率密度?v(v)也可直接求出W的數(shù)學(xué)期望值，即167。定理1：設(shè)X為隨機(jī)變量，Y=g(X),(1) 如果X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為 ，且級(jí)數(shù) (2) 如果X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為?(X)，且積分 絕對(duì)收斂，則有 證略X 1 01/212P1/3 1/61/61/121/4例8：已知X的分布律為 求： 解： 高等數(shù)學(xué)中級(jí)數(shù)的求和很關(guān)鍵?。?！例9：設(shè) ，求 解： （令 m=k2）例10：設(shè) ，求 解：由于X的概率密度為 于是例11：國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種商品的需求量為一個(gè)隨機(jī)變量X（單位：噸），且已知， 并已知每售出一噸此種商品，可以為國(guó)家掙得外匯3萬(wàn)美元，但若售不出去，而屯售于倉(cāng)庫(kù)，每年需花費(fèi)保養(yǎng)費(fèi)每噸為一萬(wàn)美元，問(wèn)應(yīng)組織多少貨源可使國(guó)家的平均收益達(dá)到最大？解：設(shè)a為某年準(zhǔn)備組織出口此種商品的數(shù)量（單位：噸）Y為國(guó)家收益，于是Y是X的函數(shù)準(zhǔn)備—實(shí)際需要=剩余由于 ，即其概率密度為 于是國(guó)家的平均收益為 令 解得 a=3500（噸） 但 ，故E(Y)在a=3500時(shí)，E（Y）最大，即組織貨源為3500噸時(shí)，可是國(guó)家的收益達(dá)到最大。(X,Y)為二維隨機(jī)變量，Z=g(X,Y) （1）如果(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為 （2）如果（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量?(χ,y) 證略。(X,Y)的概率密度為 試求E( )167。，則E(c)=C ，X為隨機(jī)變量，則E(cX)=cE(X) ,Y為任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則E(X177。Y)=E(X) 177。E(Y) 推廣：設(shè) 為n個(gè)隨機(jī)變量，則有 ,Y相互獨(dú)立，則有E(XY)=E(X)E(Y) 推廣：如果n個(gè)隨機(jī)變量X1,X2,…Xn相互獨(dú)立，則有則有 。，進(jìn)行射擊時(shí)各自擊中靶子為止，但限制每人最多只打三次，問(wèn)平均需要為他們準(zhǔn)備多少發(fā)子彈？解：令 表示第i名射手所需的子彈數(shù)i=1,2,…,9 X為9名射手所需的子彈總數(shù)，顯然 Xi123p==而 的分布律為于是 由性質(zhì)3便可求得平均所需準(zhǔn)備的子彈數(shù)： 即平均需準(zhǔn)備12發(fā)子彈。二 方差167。意義：D(X)表示X取值相對(duì)于平均值E(X)的分散程度 離散就求和 連續(xù)就積分167。 方差的計(jì)算(2)若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為?(χ),則分部積分法GD 證： GD注意：記憶常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望和方差（最好都推導(dǎo)一遍） 求 解：前面已求得 于是 解：前面已求得 ，于是167。 （注意：相加時(shí)期望沒(méi)要求相互獨(dú)立）思考：如果二者獨(dú)立D(XY)=D(X)D(Y) ?實(shí)際上D(XY)=D(X)+D(Y) ，則D(X)=0的充分必要條件為其中c為常數(shù)。，E(X),D(X)存在，又設(shè) ， ~B(n,p),求E(X), D(X)解：設(shè)在貝努里試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率為p,將此貝努里試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行幾次，構(gòu)成n重貝努里試驗(yàn),令Xi01 i=1，2，…，n另一方面，令X表示n重貝努里試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則X~B(n,p) 167。定理1：設(shè)X為隨機(jī)變量，且E(X),D(X)存在，則對(duì)任意實(shí)數(shù)? ， 成立證：只證X為連續(xù)型隨機(jī)變量的情況設(shè)?(χ)為X的概率密度，則有，且各盞燈開(kāi)關(guān)彼此獨(dú)立，試估計(jì)夜晚同時(shí)開(kāi)著的燈的數(shù)目在6800盞至7200盞之間的概率。解:令X表示夜晚同時(shí)開(kāi)著燈的數(shù)目，X~B(10000,)可用車(chē)比雪夫不等式進(jìn)行估計(jì)此概率167。 以下結(jié)果要熟記1. 二點(diǎn)分布X～B(1,p)X010 q=1p, E(X)=p, D(X)=pqpqp2. 二項(xiàng)分布X～B(n,p)..三 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)167。1．協(xié)方差的概念滾動(dòng)滾滾動(dòng) 滾動(dòng)例2：甲乙兩人猜測(cè)箱中產(chǎn)品的數(shù)目，猜測(cè)結(jié)果分別記為X和Y (單位：百個(gè))已知（X，Y）的分布律和邊緣分布律由下表給出：X\Y1231231 滾167。1．相關(guān)系數(shù)的概念例3： 解：由前面得到的結(jié)果可知 ，且2． 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1 性質(zhì)2 證： （ ）相關(guān)系數(shù)為0，能否說(shuō)二者無(wú)關(guān)了？NOX 1 0 1 P 例4：設(shè)X的分布律為解： 滾動(dòng)于是 而 所以 1/2Pi滾動(dòng) 滾動(dòng)問(wèn)題：相關(guān)系數(shù)到底說(shuō)明什么問(wèn)題？似乎并不能完全反映兩個(gè)變量的相關(guān)程度。由此問(wèn)題引出性質(zhì)3相關(guān)系數(shù)實(shí)際上叫“線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)”更準(zhǔn)確滾動(dòng)討論如下：積變偶不變，符號(hào)看象限（1） （2） 。（3） 。性質(zhì)3 滾動(dòng) 167。為（X1，X2，…，Xn）的協(xié)方差矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)為協(xié)差陣。性質(zhì)1. V為對(duì)稱(chēng)陣，即Vij=Vji,一切i,j2. V主對(duì)角線(xiàn)之 元素為X1,X2…,Xn,的方差，即Vii=D(Xi),i=1,2,…,n滾動(dòng)滾動(dòng)四 n維正態(tài)分布167。 n維正態(tài)分布的概率密度對(duì)二維正態(tài)分布的隨機(jī)變量（X，Y），其概率密度為滾動(dòng) 可見(jiàn)，（X，Y）的概率密度便可表為（X1，X2，…，XN）的概率密度為167。 n維正態(tài)分布的幾個(gè)重要性質(zhì)滾動(dòng) 由性質(zhì)3可知（X，Z）服從二維正態(tài)分布，而即X與Z不相關(guān)，從而X與Z相互獨(dú)立。第五章 大數(shù)定律及中心極限定理一 大數(shù)定律167。 四種收斂性則稱(chēng){Xn}依概率收斂于隨機(jī)變量X，記為四種收斂性有以下關(guān)系：167。1．切比雪夫大數(shù)定律 GD證： 再由車(chē)比雪夫不等式，使得：即得 推論： 2． 貝努里大數(shù)定律GD 即 貝努里大數(shù)定律說(shuō)明：當(dāng)試驗(yàn)在不變條件下，重復(fù)進(jìn)行多次時(shí)，隨機(jī)事件的頻率應(yīng)在它的概率附近擺動(dòng)。 特別，概率很小的事件其頻率應(yīng)很小，即在實(shí)際的一，二次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的，人們常常認(rèn)為那些概率很小的事件實(shí)際上是不可能發(fā)生的。這個(gè)原理稱(chēng)之為小概率事件的實(shí)際不可能性原理，簡(jiǎn)稱(chēng)為小概率事件原理，在實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用。二 中心極限定理所謂中心極限定理是指一系列定理，研究的是隨機(jī)變量序列{Xn}的前n項(xiàng)和，167。定理3：設(shè)隨機(jī)變量序列獨(dú)立、同分布，且 證略。 例1：設(shè)有串聯(lián)電阻網(wǎng)絡(luò)（見(jiàn)圖）每個(gè)電阻的阻值為隨機(jī)變量，它們獨(dú)立，同分布都服從均勻分布U[90，110]（單位：歐姆） 解： 由上面給出近似公式，可得所求的概率 此例的結(jié)果說(shuō)明一個(gè)很有意義的事實(shí)： 兩者相比，后者概率值有很大提高，這說(shuō)明電阻串聯(lián)可以減少電阻值的隨機(jī)性，使網(wǎng)絡(luò)變得更加穩(wěn)健。167。．隸莫佛拉普拉斯中心極限定理GD由獨(dú)立同分布中心極限定理便可得： 例2：人壽保險(xiǎn)事業(yè)是最早使用概率論的部門(mén)之一，保險(xiǎn)公司為了估計(jì)企業(yè)的利潤(rùn)需要計(jì)算各種各樣事件的概率，以下便是一例：在一年內(nèi)某種保險(xiǎn)者里，現(xiàn)在有10000人參加此種人壽保險(xiǎn)，試求在未來(lái)一年內(nèi)這些保險(xiǎn)者中死亡人數(shù)不超過(guò)70人的概率。解：按題意要計(jì)算的概率為： 例3某單位有200臺(tái)電話(huà)機(jī)，每臺(tái)電話(huà)機(jī)大約有5%的時(shí)間需使用外線(xiàn)，假定每臺(tái)電話(huà)機(jī)是否使用外線(xiàn)彼此獨(dú)立，試問(wèn)：該單位總機(jī)至少需安裝多少條外線(xiàn)才可以依90%以上的概率保證每臺(tái)電話(huà)機(jī)在使用外線(xiàn)時(shí)而不能占用？又設(shè)K為該單位總機(jī)安裝的外線(xiàn)數(shù)，按題意即要求的便是使得P{0≤η≤k} 90%的最小的K值。