【正文】 ； 在 X=x條件下 Y的 條件 數(shù)學(xué)期望： ； 在 Y=y條件下 X的函數(shù) 的 條件 數(shù)學(xué)期望： 條件方差 |( | ) ( | )XYE X Y y x p x y dx?????? ?|( | ) ( | )YXE Y X x y p y x dy?????? ?()gX|[ ( ) | ) ( ) ( | )XYE g X Y y g x p x y dx?????? ?? ? ? ? 2||D X Y y E X E X Y y? ? ? ?????56 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 ? 全期望公式： ? 全方差公式 ? ? ? ?|E X E E X Y? ????? ?? ? ? ?? ?|E g X E E g X Y??? ??? ?? ? ? ?? ? ? ?|| yYP A Y y P Y yPAP A Y y f y d y????? ???? ?? ????? ? ? ? ? ?||D X E D X Y D E X Y??? ? ? ?? ? ? ?57 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 ? 例：設(shè)在某一天內(nèi)進(jìn)入某商店的顧客數(shù)是數(shù)學(xué)期望為 100的隨機(jī)變量。這些顧客所花的錢(qián)為數(shù)學(xué)期望是 50元相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。一個(gè)顧客花錢(qián)數(shù)和進(jìn)入商店的總?cè)藬?shù)相互獨(dú)立。試問(wèn)在給定一天內(nèi)，顧客們?cè)谠摰晁ㄥX(qián)的期望值為多少？ ? 解 設(shè) N表示進(jìn)入該商店的顧客人數(shù)， 表示第 i個(gè)顧客所花的錢(qián)數(shù)，則 N個(gè)顧客所花錢(qián)的總數(shù)為 ，現(xiàn)在要求 E[Y] 由全期望公式： E[Y] = E[E(Y|N)] 而 ? E(Y|N) = NE(X) E[Y] = E[NE(X)] = E(N)E(X) ? ? ? ?11||nniiiiE Y N n E X N n E X n E X??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???iX1nii XY? ??58 隨機(jī)變量的特征函數(shù) 定義 一維特征函數(shù)： (( ) [ ] ( ) , 1 iu XXiu xXu E ee p x d x i??????? ? ?? 概率密度的傅氏變換）() iiu xXkku p e? ? ?(連續(xù) ) (離散 ) 59 隨機(jī)變量的特征函數(shù) 定義 二維特征函數(shù)： n維特征函數(shù)： ()()()11( , )( , ) [ ]jki u x v yi u X v Yi u x v yjkjke p x y d x d yu v E eep?? ? ? ??? ? ? ???????????? ????????1 1 2 2()12( , , , ) [ ]nni u X u X u Xnu u u E e? ? ? ??60 隨機(jī)變量的特征函數(shù) ? 01分布特征函數(shù)： 61 隨機(jī)變量的特征函數(shù) 性質(zhì) (1) (唯一性定理 ) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)與特征函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)且相互唯一確定的。 特征函數(shù)是其概率密度函數(shù)的傅氏變換；而概率密度函數(shù)是特征函數(shù)的反傅氏變換： ( ) ( )1( ) ( )2iu xXXiu xXXu e p x d xp x e u d u????????????????62 隨機(jī)變量的特征函數(shù) 性質(zhì) （ 2）相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于各隨機(jī)變量特征函數(shù)之積。若 相互獨(dú)立 ,記 ，則有 12, , , nX X X1niiXX?? ?1( ) ( )inXXixu???? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?iu X Y iu X iu YXYiu X iu YXYu E e E e eE e E e u u???????? ? ???? ? ?63 隨機(jī)變量的特征函數(shù) 性質(zhì) （ 3）隨機(jī)變量 相互獨(dú)立的充要條件： 12, , , nX X X121( , , , ) ( )inX n X iiu u u u???? ?121( , , , ) ( )inX n X iip x x x p x?? ?64 隨機(jī)變量的特征函數(shù) 性質(zhì) （ 4） 特征函數(shù)與隨機(jī)變量矩的關(guān)系為 一維變量， k階原點(diǎn)矩： 0()( ) ( ) kkk XkuuE X iu??????0()( ) ( )!kkXkiuu E Xk???? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0iu xXXkk iu xXX kkiu xXkkkiu x k iu xXXkkk kkXXu e f x dxdu e f x dxdude f x dxduix e f x dx i x e f x dxi x f x dx i E X???????????????? ? ? ?? ? ? ??????????????????65 隨機(jī)變量的特征函數(shù) 性質(zhì) （ 4） 特征函數(shù)與隨機(jī)變量矩的關(guān)系為 n維變量，混合原點(diǎn)矩： 1212112012()1212[ , , , ] ( ) ( , , , )mmmjjmu ikkknk k kkXnkkknE X X Xi u u uu u u???? ? ???? ??? ? ?（ i=1,…, n） 66 隨機(jī)變量的特征函數(shù) ? 利用特殊函數(shù)法求隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望和方差 ? 由 ? ?2~,XN ??? ?2~,XN ??? ? 2212iuX u e u?????? ? ? ?39。 2 2 212iuX u i u e u?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? 239。39。 2 2 2 212iuX u i u e u?? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ? ?39。10XEX ??? ? ?? ? ? ? ? ?22 39。39。 2 210 XEX ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 22D X E X E X?? ????67 極限定理 ? 大數(shù)定律 1：設(shè) ，相互獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且存在數(shù)學(xué)期望和方差： 則對(duì)任意 ，有 即 12 ,nX X X， ， ，? ? ? ? ? ?2, , 1 , 2 ,iiE X D X i??? ? ?0??11l im 1niniPXn ???? ??? ???????11 n PiiXXn?????68 極限定理 ? 伯努利大數(shù)定律：設(shè) ，相互獨(dú)立都服 01分布隨機(jī)變量， 則對(duì) ，有 12 ,nX X X， ， ，? ? ? ? ? ?1 , 0 , 0 1 , 1iiP X p P X q p p q? ? ? ? ? ? ? ?0???11l im 1niniP X pn??? ??? ???????? ? 1niinXmf A pnn?? ? ??69 極限定理 ? 獨(dú)立同分布中心極限定理：設(shè) ，是相互獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，具有數(shù)學(xué)期望和方差 則 ? 即 的極限分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 N(0,1) 12 ,nX X X， ， ，? ? ? ? ? ?2, , 1 , 2 ,iiE X D X i??? ? ?? ?21 21l im2ntixinXnP x e d t xn???????????? ? ? ?????????1niinXnZn????? 若有大量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且每個(gè)陰機(jī)變量對(duì)它們之和的影響足夠小時(shí)，則當(dāng)這些隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)趨于無(wú)窮大時(shí)，這些隨機(jī)變量的和服從正態(tài)分布，而與每個(gè)機(jī)變量的分布無(wú)關(guān)