【正文】 立。 100 例： 10件產(chǎn)品中有 4件正品，連續(xù)取兩次，每次取一件，作有放回抽樣。設(shè) B、 A分別表示第一、二次取得正品，則 P(A)=， P(A|B)=， 故有 P(A)=P(A|B). 換言之，有 P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B). 101 定義 設(shè) A,B是隨機(jī)試驗(yàn) E的兩個(gè)事件，若 則稱事件 A， B 相互獨(dú)立。 )()()( BPAPABP ? 于是，我們也可以按如下方式來定義事件 A、 B的相互獨(dú)立關(guān)系： 102 多個(gè) 事件的獨(dú)立性 如果 n(n2)個(gè)事件 A1,A2,? ,An中任何一個(gè)事件發(fā)生的可能性都不受其它一個(gè)或幾個(gè)事件發(fā)生與否的影響，則稱 A1,A2? ,An相互獨(dú)立。 定義 ： 若三個(gè)事件 A、 B、 C滿足： (1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 則稱事件 A、 B、 C兩兩相互獨(dú)立 ； 若在此基礎(chǔ)上還滿足： (2) P(ABC)＝ P(A)P(B)P(C), 則稱事件 A、 B、 C相互獨(dú)立 。 103 兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立 定義 ： 設(shè) A1， A2， … ， An(n=2)是 n 個(gè)事件，如果 Ai， Aj是其中任意兩個(gè)事件 ， (i≠j)有 P(AiAj)= P(Ai)P(Aj) 則稱這 n個(gè)事件 兩兩獨(dú)立。 104 定義 設(shè) A1， A2， … ， An(n≥2)是 n個(gè)事件，如果 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 21 2 1 2()mni j i ji j k i j ki i i i i innP A A P A P AP A A A P A P A P AP A A A P A P A P AP A A A P A P A P A? ???????? ??????則稱 n個(gè)事件 A1， A2， … ， An相互獨(dú)立 。 m 105 事件獨(dú)立性的性質(zhì)： 1. 設(shè) A、 B為兩個(gè)事件， 若 P(A)0，則事件 A與 B相互獨(dú)立的充分必要條件是 P(B|A)=P(B)。 若 P(B)0，則事件 A與 B相互獨(dú)立的 充分必要條件是 P(A|B)=P(A)。 106 2. 若事件 A與 B相互獨(dú)立，則 A與 ， 與 B， 與 中的每一對(duì)事件都 相互獨(dú)立。 － B － B － A － A 相互獨(dú)立．與所以，事件 BA僅證 ( ) ( ) ( )P A B P A P B?左邊 : ( ) ( )1 ( )1 ( ) ( ) ( )P A B P A BP A BP A P B P A B???? ? ? ?右邊： ( ) ( ) ( 1 ( ) ) ( 1 ( ) )P A P B P A P B? ? ?107 3. 若事件 A1,A2,?,A n相互獨(dú)立，則 ).A()A()A(1)AA(A2121nnPPPP???????特別地，若 A、 B、 C相互獨(dú)立，則 ).C()B()A(1)CB(A PPPP ????∪ ∪ ∪ ∪ ∪ 108 4. 必然事件 Ω 與任意隨機(jī)事件 A相互獨(dú)立； 不可能事件 ?與任意隨機(jī)事件 A相互獨(dú)立。 109 思考題 答：概率為 1的事件與任何事件都相互獨(dú)立； 概率為 0的事件與任何事件都相互獨(dú)立 . 概率為 1的事件與其他事件什么關(guān)系？ 概率為 0的事件與其他事件什么關(guān)系？ 110 注意 :互斥與獨(dú)立的區(qū)別 ：互斥通常用于概率的加法 運(yùn)算 ,獨(dú)立通常用于概率的乘法運(yùn)算。 1. 互斥的概念是事件本身的屬性； 獨(dú)立的概念是事件的概率屬性。 ,即 A與 B不能同時(shí)發(fā)生； AB＝ ? 獨(dú)立是指 A與 B的概率互不影響 .P(A/B)=P(A) 0P(A)1, 0P(B)1, 互斥一定不獨(dú)立；獨(dú)立一定不互斥。 111 例 1： 某企業(yè)欲通過開發(fā)新產(chǎn)品來擺脫目前困境， 組織了三個(gè)攻關(guān)小組獨(dú)立研制三種新產(chǎn)品， 成功的把握分別為 60%、 50%、 60%。 求： (1)能研制出新產(chǎn)品的概率； (2)至少有兩種新產(chǎn)品能研制成功的概率。 112 0 . 6 0 . 5 0 . 5 0 . 6 0 . 6 0 . 6 2 0 . 5 0 . 6 0 . 6 0 . 6? ? ? ? ? ?? ? ? ? 。解： Ai表示第 i個(gè)攻關(guān)小組成功研制出新產(chǎn) 品，則 1 2 3 1 2 3( 1) P ( A A A ) 1 P ( A ) P ( A ) P ( A )? ? ?1 2? ? ? ? 。1 2 2 3 1 3( 2) P ( A A A A A A )??1 2 2 3 1 3 1 2 3P ( A A ) P ( A A ) P ( A A ) 2P ( A A A )? ? ?∪ ∪ ∪ ∪ 113 例 2： 把一個(gè)均勻的正四面體每個(gè)面分別標(biāo)上號(hào) 1， 2， 3， 4，再拋擲兩次 . 設(shè) A表示“第一次出現(xiàn)偶數(shù)”， B表示“第二次出現(xiàn)奇數(shù)”， C表示“兩次同奇或同偶”，問 A、 B、 C是哪種獨(dú)立關(guān)系？ 114 81( ) ( ) ( ) ,16 241( ) ( ) ( ) .16 4P A P B P CP AB P AC P BC? ? ? ?? ? ? ?即 A、 B、 C三事件兩兩獨(dú)立 . 而 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ,P A B P A P B P B C P B P C P A C P A P C? ? ? ?311( ) ( ) 0 , ( ) ( ) ( )2 8 ,P ABC P P A P B P C ??? ? ? ? ?????故 ( ) ( ) ( ) ( ) ,P A B C P A P B P C? 即它們不互相獨(dú)立 . 解： N=16， N(A)=N(B)=N(C )=8, N(AB)=N(AC)=N(BC)=4. 115 利用事件的獨(dú)立性計(jì)算概率 例 敵機(jī)俯沖時(shí) ,被一門 高射機(jī)槍擊中的概率是 ,現(xiàn)集中 100門高射機(jī)槍 , 求擊中目標(biāo)的概率。 121212( ) ( .. . )1 ( .. . )1 P ( ) P ( ) P ( ) 0. 99 41nnnP A P A A AP A A AA A A???? ? ? ? ? ?解 : 假設(shè) Ai:第 i門擊中 ,則所求事件為 A 116 獨(dú)立性在可靠理論中的應(yīng)用 (1) 串聯(lián)系統(tǒng) 1 2 11( .. . ) ( ) .. .. ( )()nnniiP A A A P A P APA??? ?117 獨(dú)立性在可靠理論中的應(yīng)用 (2) 并聯(lián)系統(tǒng) 11211( ... ) 1 ( ) .... ( )1 ( )1 ( 1 ( ) )nnniiniiP A A A P A P APAPA??????? ? ???118 如圖，開關(guān) 電路中開關(guān) a,b,c,d 閉合的概率都是 ，且各開關(guān)是 否閉合相互獨(dú)立。 求： (1)燈亮的概率； (2)若燈已經(jīng)亮，開關(guān) a與 b同時(shí)閉合的概率 . a b c d 例 3： 119 ? ；解： 設(shè) A、 B、 C、 D分別表示開關(guān) a、 b、 c、 d閉合 ,E表示燈亮，則 P ( E ) P ( A B C D )? ? ?P( A B ) P( C ) P( D ) P( A B C ) P( A B D ) P( C D ) P( A B C D )? ? ??P ( A) P ( B ) P ( C ) P ( D) P ( A) P ( B ) P ( C ) P ( A) P ( B ) P ( D) P ( C ) P ( D) P ( A) P ( B ) P ( C ) P ( D)? ? ??∪ ∪ 120 0 .2 5 0 .3 0 7 7 .0 .8 1 2 5??P(A B E )P(A B | E ) ,P(E )?AB E, AB E AB .??而 故因此， P ( AB |E) P ( A B )P ( E)?121 167。 將隨機(jī)試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行 n次 ,若每次的結(jié)果互不影響 (獨(dú)立 ),每次試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè) :“ 成功”與“失敗”，即 A與 A，且滿足 0P(A)1，這樣的試驗(yàn)叫 n重 貝努利試驗(yàn)。 定理 n重 貝努利試驗(yàn) 中 ,事件 A發(fā)生 k 次的概率為 : ( ) ( 1 ) , ( 0 , 1 , .. ., )k k n kn nP k p p k nC ?? ? ?122 例 從某大學(xué)到火車站途中有 6個(gè)交通崗 ,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立 ,并且遇到紅燈的概率都是 1/行駛途中至少遇到 5次紅燈的概率 . { 5} { 5} { 6}P X P X P X? ? ? ? ?56561 2 1 1 33 3 3 7 2 9C? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?解 :假設(shè)遇到紅燈次數(shù)為 X,所求的概率為 123 定理 多項(xiàng)概率公式 n 重獨(dú)立試驗(yàn)中 ,每次試驗(yàn)可能的結(jié)果是 kAAA , .. ., 21且 ?????niiii ppAP11),1,0()(則 kAAA , .. ., 21在 n 次試驗(yàn)中各發(fā)生 ,1rkrr ,...,2次的概率為 krkrrkppprrrn...!! ...!!212121其中 nrrr k ???? . ..21