初中常見(jiàn)定理證明-資料下載頁(yè)
2025-06-18 05:35本頁(yè)面
【正文】 定理叫做圓周角定理。（圓周角與圓心角的關(guān)系）已知在⊙O中，∠BOC與圓周角∠BAC同對(duì)弧BC，求證：∠BOC=2∠BAC.證明：情況1：如圖1，當(dāng)圓心O在∠BAC的一邊上時(shí)，即A、O、B在同一直線上時(shí)：圖1∵OA、OC是半徑解：∴OA=OC∴∠BAC=∠ACO（等邊對(duì)等角）∵∠BOC是△AOC的外角∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC情況2：如圖2,，當(dāng)圓心O在∠BAC的內(nèi)部時(shí)：連接AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于D圖2∵OA、OB、OC是半徑解：∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等邊對(duì)等角）∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC情況3：如圖3，當(dāng)圓心O在∠BAC的外部時(shí)：圖3連接AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于D連接OA,OB。解：∵OA、OB、OC、是半徑∴∠BAD=∠ABO（等邊對(duì)等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）∴∠BOC=∠DOC∠DOB=2(∠CAD∠BAD)=2∠BAC
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