【正文】 EDC=∠ B,∠ ADE=∠ BAD. ∴∠ EDC=∠ C,∠ ADE=∠ CAD. ∴ DE=EC,AE=DE. ∴ DE=EC=AE. 考點(diǎn)二 全等三角形 1.(2022北京豐臺(tái)二模 ,19)如圖 ,E,C是線段 BF上的兩點(diǎn) ,BE=FC,AB∥ DE,∠ A=∠ D,AC=6,求 DF 的長(zhǎng) . ? 解析 ∵ AB∥ DE,∴∠ ABC=∠ DEF. ∵ BE=FC,∴ BE+EC=FC+EC,∴ BC=EF. 又 ∵∠ A=∠ D, ∴ △ ABC≌ △ DEF,∴ AC=DF. 又 ∵ AC=6,∴ DF=6. 2.(2022北京豐臺(tái)一模 ,19)如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,D是 BC邊的中點(diǎn) ,DE⊥ AB于點(diǎn) E,DF⊥ AC于 點(diǎn) :DE=DF. ? 證明 連接 AD. ∵ AB=AC,D是 BC邊的中點(diǎn) , ∴ AD⊥ BC,BD=CD,∴∠ ADB=∠ ADC=90176。, 又 AD=AD,∴ △ ABD≌ △ ACD, ∴∠ BAD=∠ CAD,即 AD為 ∠ BAC的平分線 . ∵ DE⊥ AB于點(diǎn) E,DF⊥ AC于點(diǎn) F, ∴ DE=DF. ? 3.(2022北京海淀一模 ,19)如圖 ,在△ ABC中 ,D,E是 BC邊上兩點(diǎn) ,AD=AE,∠ BAD=∠ CAE. 求證 :AB=AC. ? 證明 證法一 :∵ AD=AE, ∴∠ 1=∠ 2. ∵∠ 1=∠ B+∠ BAD,∠ 2=∠ C+∠ CAE, ∴∠ B+∠ BAD=∠ C+∠ CAE. ∵∠ BAD=∠ CAE, ∴∠ B=∠ C. ∴ AB=AC. ? 證法二 :∵ AD=AE, ∴∠ 1=∠ 2. ∴ 180176?！?1=180176?！?2,即 ∠ 3=∠ 4. 在△ ABD與△ ACE中 , ? ∴ △ ABD≌ △ ACE(ASA),∴ AB=AC. ? ,3 4 ,B A D C A EA D A E? ? ??????? ? ??4.(2022北京海淀二模 ,19)如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB=AD,CB= 個(gè)全等的三角形 ,并給出證明 . ? 解析 連接 AC,則△ ABC≌ △ ADC. 證明如下 : 在△ ABC與△ ADC中 ,? ∴ △ ABC≌ △ ADC. ? ,A B A DA C A CC B C D?????? ??5.(2022北京石景山一模 ,19)如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB∥ DC,E是 CB的中點(diǎn) ,AE的延長(zhǎng)線與 DC 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) F. 求證 :AB=FC. ? 證明 ∵ AB∥ DC,∴∠ 1=∠ F,∠ B=∠ 2. ∵ E是 CB的中點(diǎn) ,∴ BE=CE. 在△ AEB和△ FEC中 ,? ∴ △ AEB≌ △ FEC,∴ AB=FC. ? 1,2,FBB E C E? ? ???? ? ??? ??6.(2022北京東城二模 ,19)如圖 ,已知 ∠ ABC=90176。,分別以 AB和 BC為邊向外作等邊△ ABD和等邊 △ BCE,連接 AE,CD. 求證 :AE=CD. ? 證明 ∵ △ ABD和△ BCE為等邊三角形 , ∴∠ ABD=∠ CBE=60176。,BA=BD,BC=BE, ∴∠ ABD+∠ ABC=∠ CBE+∠ ABC, 即 ∠ CBD=∠ EBA. 在△ CBD和△ EBA中 ,? ∴ △ CBD≌ △ EBA.(SAS) ∴ AE=CD. ,D B A BC B D E B AC B E B???? ? ??? ??7.(2022北京豐臺(tái)一模 ,20)如圖 ,在△ ABC中 ,AD是 BC邊上的高線 ,BE⊥ AC于點(diǎn) E,∠ BAD=∠ :AB=AC. ? 證明 ∵ 在△ ABC中 ,AD是 BC邊上的高線 ,BE⊥ AC于點(diǎn) E,∴∠ ADB=∠ BEC=90176。. ∴∠ ABC+∠ BAD=∠ C+∠ CBE=90176。. 又 ∵∠ BAD=∠ CBE,∴∠ ABC=∠ C.∴ AB=AC. B組 2022— 2022年模擬 提升題組 (時(shí)間 :40分鐘 分值 :50分 ) 一、選擇題 (每小題 3分 ,共 6分 ) 1.(2022北京海淀一模 ,1)用三角板作△ ABC的邊 BC上的高 ,下列三角板的擺放位置正確的是 ? ( ) 答案 A 由高線的定義可知選項(xiàng) A符合題意 .故選 A. 2.(2022北京石景山一模 ,9)用尺規(guī)作圖法作已知角 ∠ AOB的平分線的步驟如下 : ①以點(diǎn) O為圓心 ,任意長(zhǎng)為半徑作弧 ,交 OB于點(diǎn) D,交 OA于點(diǎn) E。 ②分別以點(diǎn) D,E為圓心 ,以大于 ? DE的長(zhǎng)為半徑作弧 ,兩弧在 ∠ AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn) C。 ③作射線 OC,則射線 OC為 ∠ AOB的平分線 . 由上述作法可得△ OCD≌ △ OCE的依據(jù)是 ? ( ) ? 12答案 D 由作圖可知 ,OE=OD,EC=DC,∵ OC=OC,∴ △ OCD≌ △ OCE(SSS).故選 D. 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要明確使用圓規(guī)的目的 ,同時(shí)要掌握全等三角形的判定方法 . 二、填空題 (每小題 3分 ,共 6分 ) 3.(2022北京東城一模 ,13)含 30176。角的直角三角板與直線 l1,l2的位置關(guān)系如圖所示 ,已知 l1∥ l2,∠ 1 =60176。.以下三個(gè)結(jié)論中正確的是 (只填序號(hào) ).① AC=2BC。②△ BCD為正三角形 。③ AD= BD. ? 答案 ②③ 解析 由 l1∥ l2,∠ 1=60176。,可得 ∠ CDB=60176。,又 ∠ CBD=60176。,所以△ BCD為正三角形 ?！?ACD=∠ A= 30176。,所以 AD=CD=②③ . 4.(2022北京門頭溝一模 ,10)如圖 ,在 55的正方形 (每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為 1)網(wǎng)格中 ,格點(diǎn)上 有 A、 B、 C、 D、 E五個(gè)點(diǎn) ,如果要求連接兩個(gè)點(diǎn)之后的線段的長(zhǎng)度大于 3且小于 4,則可以連接 .(寫出一個(gè)答案即可 ) ? 答案 AD(答案不唯一 ) 解析 根據(jù)勾股定理計(jì)算兩點(diǎn)之間的距離 d,滿足 3d4即可 ,如 AD、 BD等 ,答案不唯一 . 三、解答題 (共 38分 ) 5.(2022北京東城一模 ,19)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ BAC=90176。,AD⊥ BC于點(diǎn) ∠ ABC,交 AD于 點(diǎn) E,交 AC于點(diǎn) :AE=AF. ? 證明 ∵∠ BAC=90176。, ∴∠ FBA+∠ AFB=90176。. ∵ AD⊥ BC, ∴∠ DBE+∠ DEB=90176。. ∵ BF平分 ∠ ABC, ∴∠ DBE=∠ FBA, ∴∠ AFB=∠ DEB, ∵∠ DEB=∠ FEA, ∴∠ AFB=∠ FEA, ∴ AE=AF. 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要借助等角的余角相等這一定理 ,通過(guò)等量代換解決 . 6.(2022北京西城一模 ,19)如圖 ,AD平分 ∠ BAC,BD⊥ AD于點(diǎn) D,AB的中點(diǎn)為 E,AEAC. ? (1)求證 :DE∥ AC。 (2)點(diǎn) F在線段 AC上運(yùn)動(dòng) ,當(dāng) AF=AE時(shí) ,圖中與△ ADF全等的三角形是 . 解析 (1)證明 :如圖 . ∵ AD平分 ∠ BAC,∴∠ 1=∠ 2. ∵ BD⊥ AD于點(diǎn) D,∴∠ ADB=90176。, ∴ △ ABD為直角三角形 . ∵ E為 AB的中點(diǎn) ,∴ AE=? AB,DE=? AB, ∴ DE=AE,∴∠ 1=∠ 3, 12 12∴∠ 2=∠ 3, ∴ DE∥ AC. (2)△ ADE. 7.(2022北京大興一模 ,18)我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理創(chuàng)造了一幅“弦圖” ,后人 稱其為“趙爽弦圖” .下圖是由“趙爽弦圖”變化得到的 ,它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接 而成的 .記圖中正方形 ABCD,正方形 EFGH,正方形 MNKT的面積分別為 S1,S2,S3,若 S1+S2+S3=10, 求 S2的值 .以下是求 S2的值的解題過(guò)程 ,請(qǐng)你根據(jù)圖形補(bǔ)充完整 . ? 解 :設(shè)每個(gè)直角三角形的面積均為 S, 則 S1S2= (用含 S的代數(shù)式表示 )① , S2S3= (用含 S的代數(shù)式表示 )② , 由①②得 , S1+S3= , 因?yàn)?S1+S2+S3=10,所以 2S2+S2=10, 所以 S2=? . 103解析 4S。4S。2S2. 提示 :結(jié)合題圖計(jì)算即可 . 8.(2022北京大興一模 ,19)如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,點(diǎn) D,點(diǎn) E分別是 BC,AC上的點(diǎn) ,且 DE⊥ AD. 若 ∠ BAD=55176。,∠ B=50176。,求 ∠ DEC的度數(shù) . ? 解析 ∵ AB=AC,∴∠ B=∠ C.∵∠ B=50176。,∴∠ C=50176。. ∴∠ BAC=180176。50176。50176。=80176。. ∵∠ BAD=55176。,∴∠ DAE=25176。. ∵ DE⊥ AD,∴∠ ADE=90176。,∴∠ DEC=∠ DAE+∠ ADE=115176。. 9.(2022北京東城一模 ,20)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ B=55176。,∠ C=30176。,分別以點(diǎn) A和點(diǎn) C為圓心 ,大于 ? AC的長(zhǎng)為半徑畫弧 ,兩弧相交于點(diǎn) M,N,作直線 MN,交 BC于點(diǎn) D,連接 AD,求 ∠ BAD的度數(shù) . ? 12解析 由題意可得 :MN所在直線是 AC的垂直平分線 , 則 AD=DC.∴∠ C=∠ DAC. ∵∠ C=30176。, ∴∠ DAC=30176。. ∵∠ B=55176。, ∴∠ BAC=95176。. ∴∠ BAD=∠ BAC∠ CAD=65176。. 10.(2022北京順義一模 ,23)已知 :如圖 ,四邊形 ABCD中 ,對(duì)角線 AC,BD相交于點(diǎn) O,AB=AC=AD,∠ DAC=∠ ABC. (1)求證 :BD平分 ∠ ABC。 (2)若 ∠ DAC=45176。,OA=1,求 OC的長(zhǎng) . ? 解析 (1)證明 :∵ AB=AC, ∴∠ ABC=∠ ACB. ∵∠ DAC=∠ ABC, ∴∠ DAC=∠ ACB. ∴ AD∥ BC. ∴∠ 1=∠ 2. 又 ∵ AB=AD, ∴∠ 1=∠ 3.∴∠ 2=∠ 3. ∴ BD平分 ∠ ABC. ? (2)∵ AB=AC,∴∠ ABC=∠ ACB. ∵∠ DAC=45176。,∠ DAC=∠ ABC, ∴∠ ABC=∠ ACB=45176。.∴∠ BAC=90176。. 過(guò)點(diǎn) O作 OE⊥ BC于 E, ? ∵ BD平分 ∠ ABC,∴ OE=OA=1. 在 Rt△ OEC中 ,∠ ACB=45176。,OE=1, ∴ OC=? . 211.(2022北京東城一模 ,20)如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,BD平分 ∠ ABC交 AC于點(diǎn) D,AE∥ BD交 CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ∠ BAC=40176。,請(qǐng)你選擇圖中現(xiàn)有的一個(gè)角并求出它的度數(shù) .(要求 :不添加新 的線段 ,所有給出的條件至少使用一次 ) ? 解析 可以選擇并求出 ∠ E=35176。或 ∠ EAB=35176?；?∠ EAC=75176。.(答案不唯一 ) ∵ 在△ ABC中 ,AB=AC,∠ BAC=40176。, ∴∠ ABC=∠ ACB=70176。. 又 ∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ ABD=∠ CBD=35176。. ∵ AE∥ BD, ∴∠ E=∠ DBC=35176。,∠ EAB=∠ ABD=35176。. ∴∠ EAC=∠ EAB+∠ BAC=75176。. 思路分析 由角平分線及等腰三角形的性質(zhì)求解 . 解題技巧 本題答案不唯一 ,可以選擇最容易求的角 .