【正文】 . ∵ AE∥ BD, ∴∠ E=∠ DBC=35176。. 過(guò)點(diǎn) O作 OE⊥ BC于 E, ? ∵ BD平分 ∠ ABC,∴ OE=OA=1. 在 Rt△ OEC中 ,∠ ACB=45176。. ∵∠ B=55176。. ∵∠ BAD=55176。2S2. 提示 :結(jié)合題圖計(jì)算即可 . 8.(2022北京大興一模 ,19)如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,點(diǎn) D,點(diǎn) E分別是 BC,AC上的點(diǎn) ,且 DE⊥ AD. 若 ∠ BAD=55176。,所以 AD=CD=②③ . 4.(2022北京門(mén)頭溝一模 ,10)如圖 ,在 55的正方形 (每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為 1)網(wǎng)格中 ,格點(diǎn)上 有 A、 B、 C、 D、 E五個(gè)點(diǎn) ,如果要求連接兩個(gè)點(diǎn)之后的線段的長(zhǎng)度大于 3且小于 4,則可以連接 .(寫(xiě)出一個(gè)答案即可 ) ? 答案 AD(答案不唯一 ) 解析 根據(jù)勾股定理計(jì)算兩點(diǎn)之間的距離 d,滿足 3d4即可 ,如 AD、 BD等 ,答案不唯一 . 三、解答題 (共 38分 ) 5.(2022北京東城一模 ,19)如圖 ,在△ ABC中 ,∠ BAC=90176。角的直角三角板與直線 l1,l2的位置關(guān)系如圖所示 ,已知 l1∥ l2,∠ 1 =60176?！?2,即 ∠ 3=∠ 4. 在△ ABD與△ ACE中 , ? ∴ △ ABD≌ △ ACE(ASA),∴ AB=AC. ? ,3 4 ,B A D C A EA D A E? ? ??????? ? ??4.(2022北京海淀二模 ,19)如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB=AD,CB= 個(gè)全等的三角形 ,并給出證明 . ? 解析 連接 AC,則△ ABC≌ △ ADC. 證明如下 : 在△ ABC與△ ADC中 ,? ∴ △ ABC≌ △ ADC. ? ,A B A DA C A CC B C D?????? ??5.(2022北京石景山一模 ,19)如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,AB∥ DC,E是 CB的中點(diǎn) ,AE的延長(zhǎng)線與 DC 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) F. 求證 :AB=FC. ? 證明 ∵ AB∥ DC,∴∠ 1=∠ F,∠ B=∠ 2. ∵ E是 CB的中點(diǎn) ,∴ BE=CE. 在△ AEB和△ FEC中 ,? ∴ △ AEB≌ △ FEC,∴ AB=FC. ? 1,2,FBB E C E? ? ???? ? ??? ??6.(2022北京東城二模 ,19)如圖 ,已知 ∠ ABC=90176。50176。. ∵ AD為△ ACB的高線 , ∴∠ D=90176。 解析 由題意可知 ,點(diǎn) P和兩個(gè)量角器的中心組成一個(gè)等腰三角形 ,所以小量角器上對(duì)應(yīng)的度 數(shù)為 (180176。 (2)如圖 2,若 AC=DC,在不添加任何輔助線的情況下 ,請(qǐng)直接寫(xiě)出圖 2中四對(duì)全等的直角三角形 . 圖 1 圖 2 解析 (1)證明 :∵ △ ACB和△ DCE都是等腰直角三角形 , ∠ ACB=∠ DCE=90176。 (2)根據(jù)△ APM≌ △ BPN得 MN=2PN,結(jié)合 MN=2BN得出 PN=BN,由等邊對(duì)等角可得結(jié)果 。. (3)40176。,39。,在 Rt△ DAD39。,DD39。,∴∠ AOB=90176。, ∴ AC⊥ BD, ∵ AO與 OC不一定相等 ,∴ ②不正確 . ③ ∵ △ ABC≌ △ ADC, ∴∠ BAC=∠ DAC,∠ ACB=∠ ACD, ,A B A DB C D CA C A C????????,A B A DB A C D A CA O A O???? ? ?????∵∠ ABD和 ∠ CBD不一定相等 ,∴ ③不正確 . ④ ∵ AC⊥ BD, ∴ 四邊形 ABCD的面積 S=S△ ABD+S△ BCD=? BD. ∵∠ ABQ=∠ PBD,∴∠ BPD=∠ AQP. ∵∠ BPD=∠ APQ,∴∠ APQ=∠ AQP,∴ AP=AQ. 30.(2022廣東 ,19,6分 )如圖 ,已知△ ABC中 ,D為 AB的中點(diǎn) . (1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作邊 AC的中點(diǎn) E,并連接 DE(保留作圖痕跡 ,不要求寫(xiě)作法 )。,則 AP=? ,所以 CP=2? 或 4? 。時(shí) ,點(diǎn) B39。C=90176?！?A=128176。,∴∠ HEC=60176。,∴∠ ACF=120176。. ∵ EF⊥ AC,∴∠ EFC=90176。DN=? 58sin 40176。 176。39176。60176。.設(shè) AB的中 點(diǎn)為 O,則 P在以 AB為直徑的圓上 .當(dāng)點(diǎn) O,P,C三點(diǎn)共線時(shí) ,線段 CP最短 ,∵ OB=? AB=3,BC=4,∴ OC=? =5,又 OP=? AB=3,∴ 線段 CP長(zhǎng)的最小值為 53=2,故選 B. 122234?1214.(2022四川綿陽(yáng) ,5,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,∠ B、 ∠ C的平分線 BE、 CD相交于點(diǎn) F,∠ ABC=42176。的等腰三 角形為等邊三角形就可以判定其為等邊三角形 . 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要選擇恰當(dāng)判斷等邊三角形的方法 ,另外 ,本題還可以借助對(duì)稱(chēng) 性發(fā)現(xiàn)等邊三角形一定有無(wú)數(shù)多個(gè) . 11.(2022湖北武漢 ,10,3分 )平面直角坐標(biāo)系中 ,已知 A(2,2),B(4,0),若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn) C,使△ ABC 為等腰三角形 ,則滿足條件的點(diǎn) C的個(gè)數(shù)是 ? ( ) 答案 A 如圖 ,①當(dāng) AB=AC時(shí) ,以點(diǎn) A為圓心 ,AB長(zhǎng)為半徑作圓 ,與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn) (點(diǎn) B除 外 ),即 O(0,0),C0(0,4),其中點(diǎn) C0與 A、 B兩點(diǎn)共線 ,不符合題意 。,以△ ABC的一邊為邊畫(huà)等腰三角形 ,使得 它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ ABC的其他邊上 ,則可以畫(huà)出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為 ? ( ) ? 答案 D ①如圖 1,以 B為圓心 ,BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧 ,交 AB于點(diǎn) D,則△ BCD就是等腰三角形 。,∠ C=36176。,所以 ∠ ADC= 180176。=10176。 176。,再應(yīng)用勾股定理計(jì)算 . 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要明確中點(diǎn)和特殊角的作用 ,同時(shí)要把已知條件放在三角形中 來(lái)解決 . 7.(2022北京 ,20,5分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,AD是 BC邊上的中線 ,BE⊥ AC于點(diǎn) :∠ CBE =∠ BAD. ? 證明 ∵ AB=AC,AD是 BC邊上的中線 , ∴ AD⊥ BC,∠ BAD=∠ CAD. ∵ BE⊥ AC,∴∠ BEC=∠ ADC=90176。,AC平分 ∠ BAD,AC=2,求 BN的長(zhǎng) . ? 解析 (1)證明 :在△ ABC中 ,∠ ABC=90176。, ∴∠ BDC=∠ C, ∴ BD=BC,∴ AD=BC. 5.(2022北京 ,20,3分 )數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長(zhǎng)方形對(duì)角線上 任一點(diǎn)作兩條分別平行于兩鄰邊的直線 ,則所容兩長(zhǎng)方形面積相等 (如圖所示 )”這一推論 ,他 從這一推論出發(fā) ,利用“出入相補(bǔ)”原理復(fù)原了《海島算經(jīng)》九題古證 . ? (以上材料來(lái)源于《古證復(fù)原的原則》《吳文俊與中國(guó)數(shù)學(xué)》和《古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽》 ) 請(qǐng)根據(jù)上圖完成這個(gè)推論的證明過(guò)程 . 證明 :S矩形 NFGD=S△ ADC(S△ ANF+S△ FGC), S矩形 EBMF=S△ ABC( + ). 易知 ,S△ ADC=S△ ABC, = , = . 可得 S矩形 NFGD=S矩形 EBMF. 解析 S△ AEF。 ③作直線 PQ. 所以直線 PQ就是所求作的直線 . 根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程 , (1)使用直尺和圓規(guī) ,補(bǔ)全圖形 。,又 ∵ M是 AB的中點(diǎn) ,∴ MC=? AB=AM= D. 122.(2022北京 ,14,3分 )如圖 ,小軍、小珠之間的距離為 m,他們?cè)谕槐K路燈下的影長(zhǎng)分別為 m, 、小珠的身高分別為 m, m,則路燈的高為 m. ? 答案 3 解析 如圖 ,由題意可知 ,∠ B=∠ C=45176。, ∴∠ ABC=∠ C=72176。S△ FMC. 6.(2022北京 ,23,5分 )如圖 ,在四邊形 ABCD中 ,∠ ABC=90176。. ∴∠ BMN=∠ BMC+∠ CMN=90176。,則 ∠ EDC的度數(shù)為 ? ( ) ? 176。, AD=AE,∴∠ AED=∠ ADE=45176。 176。60176。 答案 C 由作圖知 BA=BD,∴∠ BAD=∠ BDA=70176。 ⑥如圖 6,作 BC的垂直平分線交 AB于 I,則△ BCI就是等腰三角形 .故選 D. ? ? 9.(2022天津 ,11,3分 )如圖 ,在△ ABC中 ,AB=AC,AD,CE是△ ABC的兩條中線 ,P是 AD上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn) ,則下列線段的長(zhǎng)等于 BP+EP最小值的是 ? ( ) ? 答案 B 如圖 ,連接 PC,∵ AB=AC,BD=CD,∴ AD⊥ BC,∴ PB=PC,∴ PB+PE=PC+PE,∵ PE+PC ≥ CE,∴ 當(dāng) P、 C、 E三點(diǎn)共線時(shí) ,PB+PE的值最小 ,最小值為 CE,故選 B. ? 思路分析 先證 PB=PC,從而可得當(dāng) P、 C、 E三點(diǎn)共線時(shí) ,PB+PE的值最小 ,最小值為 CE. 10.(2022河北 ,16,2分 )如圖 ,∠ AOB=120176。AH =AD 答案 A 由作圖可知點(diǎn) B、 C到線段 AD的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別相等 ,∴ 點(diǎn) B、 C都在線段 AD 的垂直平分線上 ,即直線 BC垂直平分線段 A. 13.(2022安徽 ,10,4分 )如圖 ,Rt△ ABC中 ,AB⊥ BC,AB=6,BC=△ ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,且滿 足 ∠ PAB=∠ CP長(zhǎng)的最小值為 ? ( ) ? A.? C.? D.? 32 8 1 3131 2 1 313答案 B ∵∠ PAB=∠ PBC,∠ PBC+∠ ABP=90176。 176。, ∴∠ BFC=180176。 ④直線 MN,AB之間的距離 。.故選 A. 1217.(2022江蘇連云港 ,6,3分 )如圖 ,若△ ABC和△ DEF的面積分別為 S S2,則 ? ( ) ? =? S2 = ? S2 =S2 =? S2 12 72 85答案 C 過(guò)點(diǎn) A作 AM⊥ BC于點(diǎn) M,過(guò)點(diǎn) D作 DN⊥ EF交 FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn) N,S1=? BC2=80176。=90176。,∴ △ BHE是等邊三角形 ,∴ BH=BE=HE,∠ BEH=60176。,則 ∠ 1+ ∠ 2的度數(shù)為 . ? 答案 64176。C為直角三角 形 ,則 BM的長(zhǎng)為 . ? 2??始 終答案 ? 或 1 212?解析 在 Rt△ ABC中 ,∠ A=90176。C=x, 在 Rt△ MB39。,BC= P在直線 AC上 (不與 點(diǎn) A,C重合 ),且 ∠ ABP=30176。,∴∠ BPD+∠ PBD=90176。 ③ AC,BD分別平分四邊形 ABCD的兩組對(duì)角 。② CB=CD。,則 BD的長(zhǎng)為 . ? 答案 ? 41解析 作 AD39。(SAS), ∴ BD=CD39。中 ,由勾股定理得 CD39。,