【正文】 圖 ③ 所示 , 過(guò)點(diǎn) F 作 FG ⊥ B 39。C 于點(diǎn) G , ∵ α= 60176。 , ∠ A C B = 90176。 , ∴ ∠ F C B 39。= 30 176。 . 設(shè) F G = x , 在 Rt △ F G B 39。 中 , ∵ ∠ F G B 39。= 90 176。 , ∠ F B 39。 G = 45 176。 , ∴ ∠ B 39。 F G = 45 176。 . ∴ B 39。G = F G = x , B 39。 F = 2 x , 在 Rt △ F G C 中 , ∵ ∠ F G C = 90 176。 , ∴ t a n ∠ F C G =?? ???? ??, ∴ C G = 3 x , ∴ 3 x +x = 1, ∴ x= 3 12, ∴ B 39。F = 6 22. 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 2 . [ 2022 昆區(qū)一模 ] 已知 , 正方形 A B C D 中 , ∠ M A N = 45176。 , ∠ M A N 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) , 它的兩邊分別交CB , DC ( 或它們的延長(zhǎng)線 ) 于點(diǎn) M , N , AH ⊥ MN 于點(diǎn) H. ( 1) 如圖 Z6 8 ① , 當(dāng)∠ M A N 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到 B M =D N 時(shí) , 請(qǐng)你直接寫出 AH 不 AB 的數(shù)量關(guān)系 : . ( 2) 如圖 ② , 當(dāng)∠ M A N 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到 BM ≠ DN 時(shí) ,( 1) 中發(fā)現(xiàn)的 AH 不 AB 的數(shù)量關(guān)系還成立嗎 ? 如果丌成立 ,請(qǐng)寫出理由 。 如果成立 , 請(qǐng)證明 . ( 3) 如圖 ③ , 已知∠ M A N = 45 176。 , AH ⊥ MN 于點(diǎn) H , 且 M H = 2, N H = 3, 求 AH 的長(zhǎng) . ( 可利用 ( 2 ) 得到的結(jié)論 ) 圖 Z6 8 AH=AB 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 2 . [ 2022 昆區(qū)一模 ] 已知 , 正方形 A B C D 中 , ∠ M A N = 45176。 , ∠ M A N 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) , 它的兩邊分別交CB , DC ( 或它們的延長(zhǎng)線 ) 于點(diǎn) M , N , AH ⊥ MN 于點(diǎn) H. ( 2) 如圖 ② , 當(dāng)∠ M A N 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到 BM ≠ DN 時(shí) ,( 1) 中發(fā)現(xiàn)的 AH 不 AB 的數(shù)量關(guān)系還成立嗎 ? 如果丌成立 ,請(qǐng)寫出理由 。 如果成立 , 請(qǐng)證明 . 圖 Z6 8 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 ( 2) 數(shù)量關(guān)系成立 . 證明 : 如圖 ① , 延長(zhǎng) CB 至點(diǎn) E , 使 B E =D N . 連接 AE. ∵ 四邊形 A B C D 是正方形 , ∴ A B =AD , ∠ D= ∠ ABE= 90176。 . 在 Rt △ AEB 和 Rt △ A N D 中 , ?? ?? = ?? ?? ,∠ ?? ?? ?? = ∠ ?? ?? ?? ,?? ?? = ?? ?? , ∴ Rt △ AEB ≌ Rt △ A N D , ∴ A E =AN , ∠ EAB= ∠ N A D , ∴ ∠ E A M = ∠N A M = 45176。 . 在△ AEM 和△ A N M 中 , ?? ?? = ?? ?? ,∠ ?? ?? ?? = ∠ ?? ?? ?? ,?? ?? = ?? ?? , ∴ △ AEM ≌△ A N M . ∴ S △AEM=S △ANM, E M =M N . ∵ AB , AH 分別是△ AEM 和△ A N M 對(duì)應(yīng)邊上的高 , ∴ A B =AH . 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 2 . [ 2022 昆區(qū)一模 ] 已知 , 正方形 A B C D 中 , ∠ M A N = 45176。 , ∠ M A N 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) , 它的兩邊分別交CB , DC ( 或它們的延長(zhǎng)線 ) 于點(diǎn) M , N , AH ⊥ MN 于點(diǎn) H. ( 3) 如圖 ③ , 已知∠ M A N = 45 176。 , AH ⊥ MN 于點(diǎn) H , 且 M H = 2, N H = 3, 求 AH 的長(zhǎng) . ( 可利用 ( 2 ) 得到的結(jié)論 ) 圖 Z6 8 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 ( 3) 如圖 ② , 分別沿 AM , AN 翻折△ A M H 和△ A N H , 得到△ A M B 和△ A N D , ∴ B M = 2, D N = 3, ∠ B= ∠ D= ∠ B A D = 90176。 . 分別延長(zhǎng) BM 和 DN 交于點(diǎn) C , 得正方形 A B C D , 由 ( 2) 可知 , A H =AB =BC =C D =AD . 設(shè) A H =x , 則 M C =x 2, N C =x 3, 在 Rt △ M C N 中 , 由勾股定理 , 得 MN2=M C2+N C2, ∴ 52= ( x 2)2+ ( x 3)2, 解得x1= 6, x2= 1( 丌符合題意 , 舍去 ) . ∴ A H = 6 . 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 3 . [ 2022 青山區(qū)二模 ] 如圖 Z6 9 ① , 在正方形 A B C D 中 , E , F 分別為 BC , CD 的中點(diǎn) , 連接 AE , BF , 交點(diǎn)為 G. ( 1) 求證 : AE ⊥ BF 。 ( 2) 將△ B C F 沿 BF 對(duì)折 , 得到△ B P F ( 如圖 ② ), 延長(zhǎng) FP 交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q , 求 s i n ∠ B Q P 的值 。 ( 3) 將△ ABE 繞點(diǎn) A 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) , 使邊 AB 正好落在 AE 上 , 得到△ A H M ( 如圖 ③ ), 若 AM 和 BF 相交于點(diǎn)N , 當(dāng)正方形 A B C D 的面積為 4 時(shí) , 求四邊形 G H M N 的面積 . 圖 Z6 9 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 3 . 解 : ( 1) 證明 : ∵ E , F 分別是正方形 A B C D 邊 BC , CD 的中點(diǎn) , ∴ C F =BE . 在 Rt △ ABE 和 Rt △ B C F 中 , ?? ?? = ?? ?? ,∠ ?? ?? ?? = ∠ ?? ?? ?? ,?? ?? = ?? ?? , ∴ Rt △ ABE ≌ Rt △ B C F ( S A S ) , ∴ ∠ BAE= ∠ C B F . 又 ∵ ∠ BAE+ ∠ BEA= 90176。 , ∴ ∠ C B F + ∠ BEA= 90 176。 , ∴ ∠ B G E = 90 176。 , ∴ AE ⊥ B F . 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 3 . [ 2022 青山區(qū)二模 ] 如圖 Z6 9 ① , 在正方形 A B C D 中 , E , F 分別為 BC , CD 的中點(diǎn) , 連接 AE , BF , 交點(diǎn)為 G. ( 2) 將△ B C F 沿 BF 對(duì)折 , 得到△ B P F ( 如圖 ② ), 延長(zhǎng) FP 交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q , 求 s i n ∠ B Q P 的值 。 圖 Z6 9 (2 ) 根據(jù)題意得 F P = F C , ∠ PFB= ∠ BFC , ∠ FPB= 90176。 . ∵ CD ∥ AB ,∴ ∠ CF B = ∠ ABF ,∴ ∠ ABF= ∠ PFB ,∴ Q F =Q B . 令 P F =k ( k 0 ), 則 PB= 2 k , 在 Rt △ BPQ 中 , 設(shè) Q B =x , ∴ x2= ( x k )2+ 4 k2, ∴ x=5 ??2, ∴ s i n ∠ BQP=?? ???? ??=2 ??5 ??2=45. 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 3 . [ 2022 青山區(qū)二模 ] 如圖 Z6 9 ① , 在正方形 A B C D 中 , E , F 分別為 BC , CD 的中點(diǎn) , 連接 AE , BF , 交點(diǎn)為 G. ( 3) 將△ ABE 繞點(diǎn) A 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) , 使邊 AB 正好落在 AE 上 , 得到△ A H M ( 如圖 ③ ), 若 AM 和 BF 相交于點(diǎn)N , 當(dāng)正方形 A B C D 的面積為 4 時(shí) , 求四邊形 G H M N 的面積 . 圖 Z6 9 (3 ) ∵ 正方形 A B CD 的面積為 4, ∴ 邊長(zhǎng)為 2 . ∵ ∠ BAE= ∠ EAM , AE ⊥ BF ,∴ A N=A B = 2 . ∵ ∠ AHM= 9 0 176。 ,∴ GN ∥ HM ,∴?? △ ?? ?? ???? △ ?? ?? ??= (?? ???? ??)2, ∴?? △ ?? ?? ??1= (2 5)2,∴ S △ AGN =45, ∴ S 四邊形 GH M N =S △ AHM S △ AGN = 1 45=15, ∴ 四邊形 GHMN 的面積是15. 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 4 . [ 2022 包頭 ] 如圖 Z6 10, 在矩形 A B C D 中 , AB= 3, B C = 4, 將矩形 A B C D 繞點(diǎn) C 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) α 角 , 得到矩形 A 39。B 39。C D 39。 , B 39。C 不 AD 交于點(diǎn) E , AD 的延長(zhǎng)線不 A 39。D 39。 交于點(diǎn) F. ( 1) 如圖 Z6 11 ① , 當(dāng) α= 60 176。 時(shí) , 連接 DD39。 , 求 DD39。 和 A 39。 F 的長(zhǎng) 。 ( 2) 如圖 Z6 11 ② , 當(dāng)矩形 A 39。B 39。C D 39。 的頂點(diǎn) A39。 落在 CD 的延長(zhǎng)線上時(shí) , 求 EF 的長(zhǎng) 。 ( 3) 如圖 Z6 11 ③ , 當(dāng) A E =E F 時(shí) , 連接 AC , CF , 求 AC CF 的值 . 圖 Z6 10 圖 Z6 11 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 解 : ( 1) 如圖 ① 所示 , ∵ 矩形 A B C D 繞點(diǎn) C 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到矩形 A 39。B 39。C D 39。 , ∴ A 39。D 39。=AD =B39。C =BC = 4, C D 39。=C D =A39。B 39。=AB = 3, ∠ A 39。D 39。C = ∠ A D C = 90176。 . ∵ α= 60176。 , ∴ ∠ D C D 39。= 60 176。 , ∴ △ C D D 39。 是等邊三角形 , ∴ D D 39。=C D = 3 . 連接 CF , 在 Rt △ C D F 不 Rt △ C D 39。F 中 , ?? ?? = ?? ?? 39。,?? ?? = ?? ?? , ∴ Rt △ C D F ≌ Rt △ C D 39。F ( H L ) , ∴ ∠ D C F = ∠ D 39。C F =12∠ D 39。C D = 30176。 . 在 Rt △ C D 39。F 中 , ∵ t a n ∠ D 39。C F = t a n30 176。 =?? ?? 39。?? ?? 39。= 33, ∴ F D 39。= 3 , ∴ A 39。F =A39。D 39。 F D 39。= 4 3 . 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 4 . [ 2022 包頭 ] 如圖 Z6 10, 在矩形 A B C D 中 , AB= 3, B C = 4, 將矩形 A B C D 繞點(diǎn) C 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) α 角 , 得到矩形 A 39。B 39。C D 39。 , B 39。C 不 AD 交于點(diǎn) E , AD 的延長(zhǎng)線不 A 39。D 39。 交于點(diǎn) F. ( 2) 如圖 Z6 11 ② , 當(dāng)矩形 A 39。B 39。C D 39。 的頂點(diǎn) A39。 落在 CD 的延長(zhǎng)線上時(shí) , 求 EF 的長(zhǎng) 。 圖 Z6 10 圖 Z6 11 ( 2) 如圖 ② 所示 , 在 Rt △ A 39。C D 39。中 ,∵ ∠ D 39。= 90176。 ,∴ A 39。C2= A 39。D 39。2+ C D 39。2, ∴ A 39。C = 5, A 39。D = 2 . 在△ A 39。D F 不△ A 39。D 39。C 中 , ∠ ?? ?? 39。?? = ∠ ?? 39。?? 39。?? ,∠ ?? 39。?? ?? = ∠ ?? 39。, ∴ △ A 39。D F ∽△ A 39。D 39。C , ∴?? 39。???? 39。?? 39。=?? ???? 39。??, 即24=?? ??3, 得 D F =32. 同理可證△ C D E ∽△ C B 39。A 39。 , ∴?? ???? ?? 39。=?? ???? 39。?? 39。,∴34=?? ??3,∴