【正文】 (2 ) t 為何值時 , △ APQ 是直角三角形 ? 圖 Z6 1 ② (2 ) 若△ APQ 為直角三角形 , 則需分情況討論 . ① 若∠ AQP= 9 0 176。 , A C = 4 c m , B C = 3 c m , 點 P 從點 B 出發(fā)沿 BA 方向向點 A 勻速運動 ,速度為 1 c m / s , 同時點 Q 從點 A 出發(fā)沿 AC 方向向點 C 勻速運動 , 速度為 2 c m / s , 連接 PQ , 若運動時間為 t ( s ) ,且 0 ≤ t ≤ 2 . ( 8) 如圖 Z6 1 ⑧ , 把△ A P Q 沿 AP 翻折 , 得到四邊形 A Q P Q 39。 , AB= 5 c m , A C = 4 c m , 點 P 由點 B 出發(fā)沿 BA 向點 A 勻速運動 , 同時點 Q 從點 A 出發(fā)沿 AC 向點 C 勻速運動 , 它們的速度均為 1 c m / s , 連接 P Q . 設(shè)運動時間為 t ( 單位 : s ) ( 0 ≤ t ≤ 4) . ( 4) 當(dāng) A P =AQ 時 , 求 t 的值 . 圖 Z6 2 ( 4 ) 當(dāng) A P =A Q 時 ,5 t =t ,∴ t= 52 . 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。C 39。B 39。B 39。 DP 12 OM+12AP , A C = 4, B C = 3, ∴ AB2=AC2+BC2, 即 AB= 42+ 32= 5 . ∴ ?? ??5 2=14, ∴ AE=52. 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問題 例 3 [ 2 0 1 6 包頭樣題一 ] 如圖 Z6 7, 在△ ABC 中 , ∠ A C B = 90 176。 時 , 求 B 39。 F . 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問題 針 對 訓(xùn) 練 1 . [ 2022 , ∠ B 39。 B 39。 F 的長 . 圖 Z6 7 ( 3) 如圖 ③ 所示 , 過點 F 作 FG ⊥ B 39。F = 6 22. 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問題 2 . [ 2022 ( 3) 將△ ABE 繞點 A 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) , 使邊 AB 正好落在 AE 上 , 得到△ A H M ( 如圖 ③ ), 若 AM 和 BF 相交于點N , 當(dāng)正方形 A B C D 的面積為 4 時 , 求四邊形 G H M N 的面積 . 圖 Z6 9 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問題 3 . 解 : ( 1) 證明 : ∵ E , F 分別是正方形 A B C D 邊 BC , CD 的中點 , ∴ C F =BE . 在 Rt △ ABE 和 Rt △ B C F 中 , ?? ?? = ?? ?? ,∠ ?? ?? ?? = ∠ ?? ?? ?? ,?? ?? = ?? ?? , ∴ Rt △ ABE ≌ Rt △ B C F ( S A S ) , ∴ ∠ BAE= ∠ C B F . 又 ∵ ∠ BAE+ ∠ BEA= 90176。 時 , 連接 DD39。C =BC = 4, C D 39。C D = 30176。C 不 AD 交于點 E , AD 的延長線不 A 39。C = 5, A 39。??, 即24=?? ??3, 得 D F =32. 同理可證△ C D E ∽△ C B 39。C , ∴?? 39。C2= A 39。包頭 ] 如圖 Z6 10, 在矩形 A B C D 中 , AB= 3, B C = 4, 將矩形 A B C D 繞點 C 按順時針方向旋轉(zhuǎn) α 角 , 得到矩形 A 39。F 中 , ?? ?? = ?? ?? 39。C D 39。 , B 39。 , AH ⊥ MN 于點 H , 且 M H = 2, N H = 3, 求 AH 的長 . ( 可利用 ( 2 ) 得到的結(jié)論 ) 圖 Z6 8 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問題 ( 3) 如圖 ② , 分別沿 AM , AN 翻折△ A M H 和△ A N H , 得到△ A M B 和△ A N D , ∴ B M = 2, D N = 3, ∠ B= ∠ D= ∠ B A D = 90176。 . ∴ B 39。B 39。 , ∠ C B D = ∠ E B 39。 B 39。 = 45176。D =ED , A C = 4, B C = 3, E , F 分別是 AC , AB邊上的點 , 連接 E F . ( 3) 如圖 ③ , 若 FE 的延長線不 BC 的延長線交于點 N , CN= 1, C E =47, 求?? ???? ??的值 . 圖 Z6 6 ③ ( 3) 如圖 ③ , 過點 F 作 FH ⊥ CB 于點 H , 在 Rt △ NCE 和 Rt △ N H F 中 , ∵ t a n ∠ E N C = t a n ∠ F N H , ∴?? ???? ??=?? ???? ??. ∵ NC= 1, E C =47. ∴?? ???? ??=47, 設(shè) F H =x , 則 N H =74x , ∴ C H =74x 1 . ∵ B C = 3, ∴B H =BC C H = 3 74?? 1 = 4 74x. 在 Rt △ B H F 和 Rt △ B C A 中 , ∵ t a n ∠ F B H = t a n ∠ ABC , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, 即??4 74??=43, 解得 x=85, ∴ H F =85. ∵ ∠ B= ∠ B , ∠ B H F = ∠ B C A = 90176。 , A C = 4, B C = 3, E , F 分別是 AC , AB邊上的點 , 連接 E F . ( 1) 如圖 ① , 若將紙片 A C B 的一角沿 EF 折疊 , 折疊后點 A 落在 AB 邊上的點 D 處 , 且使 S 四邊形ECBF= 3 S △EDF, 求AE 的長 . ( 2) 如圖 ② , 若將紙片 A C B 的一角沿 EF 折疊 , 折疊后點 A 落在 BC 邊上的點 M 處 , 且使 MF ∥ C A . ① 試判斷四邊形 A E M F 的形狀 , 并證明你的結(jié)論 。 若丌存在 , 說明理由 . 圖 Z6 5 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 (2 ) 存在 . ∵ 四邊形 A B CD 是平行四邊形 ,∴ AB ∥ CD , ∴ ∠ M A P = ∠ QDP. 又 ∵ ∠ MPA= ∠ QPD , ∴ △ MAP ∽△ QDP , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, ∴?? ??1 ??=3 ??3 3 ??, 解得 A M =t . ∵ A B =CD = 1, ∴ B M = 1 + t . ∵ MN ⊥ BC , ∠ B= 4 5 176。 t , ∴t1= 0( 舍 ), t2=43, ∴ 當(dāng) QM ∥ BC 時 , t=43. 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 2 . [ 2022 包頭模擬 ] 如圖 Z6 3, 在 Rt △ ABC 中 , 斜邊 AB= 5 c m , B C =a c m , A C =b c m , a b ,且 a , b 是方程 x2 ( m 1) x +m + 4 = 0 的兩根 . ( 2) △ A 39。 不△ ABC 開始時完全重合 , 然后讓△ ABC 固定丌動 , 將△ A 39。 若丌存在 , 說明理由 . 圖 Z6 2 ( 9) 丌存在 . 理由 : 由 ( 8) 知 S △ APQ = 310t2+32t , ∵ S △ APQ =12S △ ABC , ∴ 310t2+32t= 3, t2 5 t+ 10 = 0, Δ = ( 5)2 40 0, ∴ 丌存在 t. 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 , AB= 5 c m , A C = 4 c m , 點 P 由點 B 出發(fā)沿 BA 向點 A 勻速運動 , 同時點 Q 從點 A 出發(fā)沿 AC 向點 C 勻速運動 , 它們的速度均為 1 c m / s , 連接 P Q . 設(shè)運動時間為 t ( 單位 : s ) ( 0 ≤ t ≤ 4) . 圖 Z6 2 ( 1) 用含 t 的代數(shù)式表示下列線段的長 : A Q = , B P = , A P = , Q C = . 解 : ( 1 ) A Q =t c m , B P =t c m , A P = (5 t ) c m , Q C = (4 t ) c m . 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 若丌存在 , 說明理由 . 圖 Z6 1 ⑥ ( 6) 存在 . 由 ( 4) 知 : S △ APQ =y =12S △ ABC , ∴ 35t2+ 3 t=1212 3 4, 35t2+ 3 t= 3, t2 5 t+ 5 = 0, t=5 177。 , 那么是否存在某一時刻 t , 使四邊形 AQPQ39。 , 由 ( 1 ) 知 t=107. ② 若∠ APQ= 9 0 176。 , 那么是否存在某一時刻 t , 使四邊形 A Q P Q 39。 , AB= 5 c m , A C = 4 c m , 點 P 由點 B 出發(fā)沿 BA 向點 A 勻速運動 , 同時點 Q 從點 A 出發(fā)沿 AC 向點 C 勻速運動 , 它們的速度均為 1 c m / s , 連接 P Q . 設(shè)運動時間為 t ( 單位 : s ) ( 0 ≤ t ≤ 4) . ( 5) 當(dāng)△ A P Q 是等腰三角形時 , 求 t 的值 . 圖 Z6 2 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 ( 5) 分情況討論 . ① 當(dāng) A P =AQ 時 ,5 t =t , ∴ t=52. ② 當(dāng) A Q =PQ 時 , 如圖 ② , 過點 Q 作 QR ⊥ AB 于點 R , 則 AR=12A P =5 ??2, △ ARQ ∽△ A C B , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, 即??5=5 ??2 4, ∴ t=2513. ③ 當(dāng) A P = P Q 時 , 如圖 ③ , 過點 P 作 PR ⊥ AC 于點 R , 則 AR=12A Q =??2. △ A P R ∽△ ABC , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, 即??24=5 ??5, ∴ t=4013. 綜上 , 當(dāng) t=52或2513或4013時 , △ A P Q 是等腰三角形 . 類型 1 幾何圖形中的動態(tài)問題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 不△ ABC 開始時完全重合 , 然后讓△ ABC 固定丌動 , 將△ A 39。C 39。C 39。 ND O N =12AP ( O M +O N ) =12AP 包頭 ] 如圖 Z6 6, 已知一個直角三角形紙片 A CB , 其中∠ A CB = 9 0 176。 , A C =BC = 1, 將△ ABC 繞點 C 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) α 角 ,得到△ A 39。 F 的長 . 圖 Z6 7 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問題 解 : ( 1) 證明 : 如圖 ① 所示 . ∵ △ ABC 繞點 C 按逆時針方向旋轉(zhuǎn) α 角得到△ A 39。包頭樣題一 ] 如圖 Z6 7, 在△ ABC 中 , ∠ A C B = 90 176。D B 是△ B C D 的外角 ,∴ ∠ B 39。D =ED C 于點 G , ∵ α= 60176。昆區(qū)一模 ] 已知 , 正方形 A B C D 中 , ∠ M A N = 45176。 , ∴ ∠ C B F + ∠ BEA= 90 176。 , 求 DD39。=C D =A39。 . 在 Rt △ C D 39。D 39。D = 2 . 在△ A 39。A 39。D 39。 ,∴ A 39。= 4 3 . 類