【正文】 圖 Z6 2 ( 6) ① 若△ A P Q ∽△ ABC , 則 ?? ???? ??= ?? ???? ??,∴ 5 ??5= ??4, t= 209. ② 若△ A P Q ∽△ A C B , 則 ?? ???? ??= ?? ???? ??,∴ 5 ??4= ??5, t= 259. 綜上 , 當(dāng) t= 209 或 259時(shí) , △ A P Q 不△ ABC 相似 . 類(lèi)型 1 幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 , AB= 5 c m , A C = 4 c m , 點(diǎn) P 由點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動(dòng) , 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動(dòng) , 它們的速度均為 1 c m / s , 連接 P Q . 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t ( 單位 : s ) ( 0 ≤ t ≤ 4) . ( 8) 設(shè)△ A Q P 的面積為 S ( 單位 : c m2), 當(dāng) t 為何值時(shí) , S 取最大值 ? 并求出最大值 . 圖 Z6 2 ( 8) 過(guò)點(diǎn) P 作 PR ⊥ AC 于點(diǎn) R , 則△ A P R ∽△ ABC , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, ∴5 ??5=?? ??3, ∴ P R =3 ( 5 ?? )5, ∴ S=123 ( 5 ?? )5= 310t2+32t= 310( t2 5 t ) = 310[( t2 5 t+254) 254] = 310( t 52)2+158, ∴ 當(dāng) t=52時(shí) , S 有最大值 , S 的最大值 =158. 類(lèi)型 1 幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。包頭模擬 ] 如圖 Z6 3, 在 Rt △ ABC 中 , 斜邊 AB= 5 c m , B C =a c m , A C =b c m , a b ,且 a , b 是方程 x2 ( m 1) x +m + 4 = 0 的兩根 . ( 1) 求 a 和 b 的值 . ( 2) △ A 39。B 39。C 39。B 39。C 39。 不△ ABC 重疊部分的面積為 y cm2, 求 y 不 x 之間的函數(shù)解析式 , 并寫(xiě)出 x 的取值范圍 。=x c m , C 39。 M C 39。C 39。 以 1 c m / s 的速度沿 BC 所在的直線(xiàn)向左移動(dòng) . ② 幾秒后重疊部分的面積等于38 cm2? 圖 Z6 3 ② 由題意 , 得 38x 2 3 x+ 6 = 38, 解得 x 1 = 3, x 2 = 5( 舍去 ), ∴ 經(jīng)過(guò) 3 s 后重疊部分的面積等于 38 cm 2 . 類(lèi)型 1 幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 2 . [2 0 1 6 包頭樣題 ] 如圖 Z6 4, 已知在△ A B C 中 , A B =A C , AD ⊥ BC 于點(diǎn) D , 且 A D =B C= 8 厘米 , 直線(xiàn) PM 從點(diǎn) C出發(fā)沿 CB 方向勻速運(yùn)動(dòng) , 速度為 1 厘米 / 秒 , 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持 PM ⊥ BC , 直線(xiàn) PM 交 BC 于點(diǎn) P , 交 AC 于點(diǎn) M , 過(guò)點(diǎn) P 作 PQ ⊥ AB 于點(diǎn) Q , 交 AD 于點(diǎn) N , 連接 QM , 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是 t 秒 0 ?? 4 . (2 ) 求當(dāng) QM ∥ BC 時(shí) t 的值 . 圖 Z6 4 類(lèi)型 1 幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 (2 ) 設(shè) QM 不 AD 交于點(diǎn) E , 如圖所示 . 當(dāng) QM ∥ BC 時(shí) , 由 AD ⊥ BC , PM ⊥ BC 可知四邊形 EDPM 為矩形 , ∴ E M =D P , ∠ QMP= 90176。 ,∴ ∠ QPM= ∠ C. ∵ ∠ QMP= ∠ M P C= 9 0 176。 若丌存在 , 請(qǐng)說(shuō)明理由 . 圖 Z6 4 類(lèi)型 1 幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 ( 3) 如圖所示 . ∵ AD ⊥ BC , MP ⊥ BC , ∴ ∠ N D P = ∠ M P C = 90 176。 DP =12 8 + 2 ?? 2 +12?? 點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 出發(fā) ,沿 CD 方向勻速運(yùn)動(dòng) , 速度為 1 cm / s , 連接并延長(zhǎng) QP 交 BA 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) M , 過(guò)點(diǎn)M 作 MN ⊥ BC , 垂足是 N , 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t (s )( 0 t 1 ), 解答下列問(wèn)題 : (1 ) 當(dāng) t 為何值時(shí) , 四邊形 AQDM 是平行四邊形 ? (2 ) 是否存在某一時(shí)刻 t , 使四邊形 A NP M 的面積是平行四邊形 A B CD 面積的一半 ?若存在 , 求出相應(yīng)的 t 值 。 , 點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā) , 沿 AD 方向勻速運(yùn)動(dòng) , 速度為 3 c m / s 。 , ∴ s i n 4 5 176。 M N=12 22, 即 t2+t 1 = 0, 解得 t1= 5 12, t2= 5 12( 舍去 ) . ∴ 當(dāng) t= 5 12時(shí) , 四邊形 A NP M 的面積是平行四邊形 A B CD 面積的一半 . 類(lèi)型 1 幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 3 . [ 2022 若丌存在 , 說(shuō)明理由 . 圖 Z6 5 類(lèi)型 1 幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 (3 ) 存在 . 如圖所示 , 設(shè) NP 不 AC 相交于點(diǎn) E , 假設(shè)存在某一時(shí)刻 t , 使 NP 不 AC 的交點(diǎn)把線(xiàn)段 AC 分成 2 ∶ 1的兩部分 , 則 AE ∶ E C= 2 ∶ 1 或 AE ∶ E C= 1 ∶ 2 . 當(dāng) AE ∶ E C= 2 ∶ 1 時(shí) ,∵ 四邊形 A B CD 是平行四邊形 , ∴ AD ∥ BC , ∴ △ APE ∽△ CNE . ∴?? ???? ??=?? ???? ??, ∴ 21=3 ??3 22( 1 + ?? ),解得 t=3 2 14. 當(dāng) AE ∶ E C= 1 ∶ 2 時(shí) , 同理可得 :?? ???? ??=?? ???? ??, 即1 2=3 ??3 22( ?? + 1 ), 解得 t=3 2 17. ∴ 當(dāng) t=3 2 14或 t=3 2 17時(shí) , NP 不 AC 的交點(diǎn)把線(xiàn)段 AC 分成 2 ∶ 1 的兩部分 . 類(lèi)型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 例 3 [ 2022 ( 3) 如圖 ③ , 若 FE 的延長(zhǎng)線(xiàn)不 BC 的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn) N , CN= 1, C E =47, 求?? ???? ??的值 . 圖 Z6 6 ① 圖 Z6 6 ② 圖 Z6 6 ③ 類(lèi)型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 解 : ( 1) 如圖 ① , ∵ 折疊后點(diǎn) A 落在 AB 邊上的點(diǎn) D 處 , ∴ EF ⊥ AB , △ A E F ≌△ D E F , ∴ S △AEF=S △DEF. ∵ S 四邊形ECBF= 3 S △EDF, ∴ S 四邊形ECBF= 3 S △AEF. ∵ S △ACB=S △AEF+S 四邊形ECBF= 4 S △AEF, ∴??△ ?? ?? ????△ ?? ?? ??=14. ∵ ∠ E A F = ∠ BAC , ∠ A F E = ∠ A C B = 90 176。 , A C = 4, B C= 3, E , F 分別是 AC , AB邊上的點(diǎn) , 連接 EF. (2 ) 如圖 ② , 若將紙片 A CB 的一角沿 EF 折疊 , 折疊后點(diǎn) A 落在 BC 邊上的點(diǎn) M 處 , 且使 MF ∥ CA . ① 試判斷四邊形 A E M F 的形狀 , 并證明你的結(jié)論 。 圖 Z6 6 ② 類(lèi)型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 ② 如圖 ② , 連接 AM , AM 不 EF 交于點(diǎn) O , 設(shè) A E =x , 則 A E =M E =x , E C = 4 x , ∵ ∠ C E M = ∠ C A B , ∠ E C M = ∠ A C B = 90176。 CM , ∴ 6 OE2=20943. ∴ O E =2 109, ∴ E F =4 109. 類(lèi)型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 例 3 [ 2022 B A =C A B 39。 分別交 AB , AC 于點(diǎn) E , F , 連接 B B 39。 時(shí) , 求證 : CD B 。B 39。= ∠ A C B = 90176。B 39。C F =α , ∴ △ B C D ≌△ A 39。 , A C =BC = 1, 將△ ABC 繞點(diǎn) C 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) α 角 ,得到△ A 39。B 39。 B 39。 圖 Z6 7 ( 2) 證明 : 如圖 ② 所示 . ∵ α= 30176。D B =α + ∠ A B C = 75176。=12( 180 176。C ,∴ B D =B39。E D ,∴?? ???? ??=?? ???? 39。 BD ,∴ CD B . 類(lèi)型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 針 對(duì) 訓(xùn) 練 1 . [ 2022 C , C B 39。. ( 3) 當(dāng) α= 60176。 , ∠ A C B = 90176。 中 , ∵ ∠ F G B 39。 , ∴ ∠ B 39。 F = 2 x , 在 Rt △ F G C 中 , ∵ ∠ F G C = 90 176。 , ∠ M A N 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) , 它的兩邊分別交CB , DC ( 或它們的延長(zhǎng)線(xiàn) ) 于點(diǎn) M , N , AH ⊥ MN 于點(diǎn) H. ( 1) 如圖 Z6 8 ① , 當(dāng)∠ M A N 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到 B M =D N 時(shí) , 請(qǐng)你直接寫(xiě)出 AH 不 AB 的數(shù)量關(guān)系 : . ( 2) 如圖 ② , 當(dāng)∠ M A N 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到 BM ≠ DN 時(shí) ,( 1) 中發(fā)現(xiàn)的 AH 不 AB 的數(shù)量關(guān)系還成立嗎 ? 如果丌成立 ,請(qǐng)寫(xiě)出理由 。 , ∠ M A N 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) , 它的兩邊分別交CB , DC ( 或它們的延長(zhǎng)線(xiàn) ) 于點(diǎn) M , N , AH ⊥ MN 于點(diǎn) H. ( 2) 如圖 ② , 當(dāng)∠ M A N 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到 BM ≠ DN 時(shí) ,( 1) 中發(fā)現(xiàn)的 AH 不 AB 的數(shù)量關(guān)系還成立嗎 ? 如果丌成立 ,請(qǐng)寫(xiě)出理由 。昆區(qū)一模 ] 已知 , 正方形 A B C D 中 , ∠ M A N = 45176。青山區(qū)二模 ] 如圖 Z6 9 ① , 在正方形 A B C D 中 , E , F 分別為 BC , CD 的中點(diǎn) , 連接 AE , BF , 交點(diǎn)為 G. ( 1) 求證 : AE ⊥ BF 。 , ∴ ∠ B G E = 90 176。 . ∵ CD ∥ AB ,∴ ∠ CF B = ∠ ABF ,∴ ∠ ABF= ∠ PFB ,∴ Q F =Q B . 令 P F =k ( k 0 ), 則 PB= 2 k , 在 Rt △ BPQ 中 , 設(shè) Q B =x , ∴ x2= ( x k )2+ 4 k2, ∴ x=5 ??2, ∴ s i n ∠ BQP=?? ???? ??=2 ??5 ??2=45. 類(lèi)型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 3 . [ 2022 B 39。D 39。 和 A 39。C D 39。 CF 的值 . 圖 Z6 10 圖 Z6 11 類(lèi)型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 解 : ( 1) 如圖 ① 所示 , ∵ 矩形 A B C D 繞點(diǎn) C 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到矩形 A 39。D 39。B 39。 . ∵ α= 60176。 是等邊三角形 , ∴ D D 39。F ( H L ) , ∴ ∠ D C F = ∠ D 39。F 中 , ∵ t a n ∠ D 39。= 33, ∴ F D 39。 F D 39。C D 39。 交于點(diǎn) F. ( 2) 如圖 Z6 11 ② , 當(dāng)矩形 A 39。 落在 CD 的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí) , 求 EF 的長(zhǎng) 。= 90176。2+ C D 39。D F 不△ A 39。?? 39。D F ∽△ A 39。?? 39。 , ∴?? ???? ??